Curvas
de una Curva Plana.
Inversa.
La inversa es un método de derivar una curva
nueva basada en un círculo. Es por tanto una
transformación independiente de la curva, que consiste en
aplicar la transformación a cada punto de la curva a
transformar, la transformación es naturalmente, la poputal
inversión, que a todo geómetra ha cautivado, ya que con
ella se puede definir una nueva geometría muy particular e
interesante.
Recordemos entonces, la transformación
llamada inversión:
Dado un circulo arbitrario y fijo C, un
par de puntos P y Q se dice que son mutuamente
inversos con respecto a
C si la recta que los une PQ corta el círculo
en forma perpendicular una única vez y cumplen la ecuación
d(O,P)\cdot d(O,Q)=r^2
donde O es
el centro del círculo, r es el radio del
círculo y d(\alpha,\beta) es la distancia entre \alpha
y \beta. Y se dice entonces que Q es la
inversión de P con respecto a C.
De esta definición, se obtienen
inmediatamente dos propiedades:
- Q es
la inversión de P
si y solamente si P
es la
inversión de Q.
- Los puntos de dentro del círculo son mapeados
al
exterior y viceversa.
Los puntos en el círculo son puntos fijos
(es
decir la inversión de cualquier punto en el círculo es
él mismo punto).
Cuando P
se aleja de O,
su inversión Q se acerca a O. De esta
observación, podemos entonces definir la inversión de O
como un punto
en el infinito y viceversa. Con tal definición, hemos obtenido
una
transformación en un plano
con un punto en el infinito,
a este plano con el punto en el infinito se le llama Proyección
Estereografica y es un concepto muy importante en
geometría. Se
demuestra que tal plano es topológicamente
equivalente a una esfera (posada encima del plano), que dos rectas
siempre se intersectan en el infinito, etc.
En la figura anterior, el círculo azul es la
inversión del
círculo rojo con respecto al círculo amarillo y viceversa.
La
inversión de una curva es la inversion de todos los puntos de la
curva y la curva nueva formada se denomina inversa de la curva original.
Es directo de las propiedades que, si la curva A
es la inversa de la
curva
B, entonces
la curva B
es también la inversa de la curva A, obviamente que
con
respecto al mismo círculo ambas inversiones.
Al círculo de la
inversión se
le llama el polo.
Una característica, que se desprende
fácilmente
de la
definición, es que el radio del círculo de la
inversión afecta la escala
de la curva inversa, pero no afecta su forma. Las curvas
cuya
inversion son ellas mismas se llaman las curvas anallagmaticas.
Los
círculos, las líneas, y los óvalos de Cassinian
son curvas
anallagmaticas.
Para encontrar la inversión de una curva A
con respecto a
un círculo M
de radio r
y centro O
se puede proceder de la siguiente forma:
- Dibuje la recta OP para
algún punto P
de la curva.
- Marque el punto Q de esta recta
que cumpla con la ecuación d(O,P)\cdot d(O,Q)=r^2
- Repita esto para otros
puntos P
de la curva.
El lugar geométrico de Q es la
inversion de la curva A con respecto
al círculo M
