La
sucesión de Fibonacci.
Introducción.
| 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144\ldots |
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A
finales del siglo XII, la república de Pisa es una gran potencia
comercial, con delegaciones en todo el norte de Africa. En una de estas
delegaciones, en la ciudad argelina de Bugía, uno de los hijos
de
Bonaccio, el responsable de la oficina de aduanas en la ciudad,
Leonardo, es educado por un tutor árabe en los secretos del
cálculo
posicional hindú y tiene su primer contacto con lo que
acabaría
convirtiéndose, gracias a él, en uno de los más
magníficos regalos del
mundo árabe a la cultura occidental: nuestro actual sistema de
numeración posicional.
Leonardo de Pisa,
Fibonacci, nombre con el que
pasará a la historia, aprovechó sus
viajes
comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia,
Grecia..., para entablar contacto y discutir con los matemáticos
más
notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los
Elementos
de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor.
De
su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de
aritmética y
álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente
sistema de
cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado,
nace, en 1202, el Liberabaci ,
la primera summa
matemática de la Edad Media.
En
él aparecen por primera vez en Occidente, las nueve cifras
hindúes y el
signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para
realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros
como
con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple
y
compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un
número, así como
instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de
segundo grado.
Pero Fibonacci es más
conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión
de números:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144\ldots
que
colocó en el margen de su Liberabaci
junto al conocido "problema
de los
conejos" que más que un problema parece un acertijo de
matemáticas
recreativas. El problema en lenguaje actual diría así:
"Una
pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a
partir de
ese momento cada mes engendra una nueva pareja de conejos, que a su
vez, tras
ser fértiles engendrarán cada mes una nueva pareja de
conejos"
¿Cuántos
conejos habrá al cabo de un determinado número de
meses?
En este gráfico vemos que
el número de parejas a lo largo de los meses coincide con los
términos de la sucesión.
En efecto, una pareja de conejos luego de nacer, se tarda un mes en
alcanzar la madurez y otro mes en dar a luz un nuevo conejo, por lo que
en el primer y segundo mes la cantidad de parejas es constante e igual
a uno; en el tercer mes la pareja original tendrá su primera
pareja de crías, por lo que el número de parejas
aumentará a dos; en el cuarto mes la pareja original
tendrá su segunda pareja de crías nueva, mientras que su
primera pareja alcanzará la madurez, por lo que la cantidad de
parejas aumentará a tres; en el quinto mes la pareja original
tendrá su tercera pareja de crías, su primera pareja
tendrá su primer pareja de crias, mientras que su segunda pareja
alcanzará la madurez, por lo que la cantidad de parejas
aumentará a cinco, y así sucesivamente, se obtiene la
cantidad de parejas en un mes arbitrario.
Los primeros doce terminos de la sucesión son los siguientes:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144\ldots
Donde se puede apreciar que cada término es la suma de los dos
anteriores, lo que se explica debido a que el número de parejas
en el siguiente mes es igual al numero de parejas del presente mes, mas
el numero de parjas maduras en el presente mes, i.e. el número
de parejas del mes anterior, las que tendrán cada una una nueva.
