La
sucesión de Fibonacci.
Propiedades.
La sucesión de Fibonacci
presenta diversas regularidades numéricas. Para que
resulte más
sencillo las hemos enunciado en casos particulares (aunque se cumplen
en general) y hemos calculado los primeros catorce
términos de
esta
sucesión, para que su verificación sea inmediata:
| t 1 |
t 2 |
t 3 |
t 4 |
t 5 |
t 6 |
t 7 |
t 8 |
t 9 |
t 10 |
t 11 |
t 12 |
t 13 |
t 14 |
| 1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
89 |
144 |
233 |
377 |
:-) Si sumas los cuatro primeros términos y
añades 1,
da como resultado el
sexto ((1+1+2+3)+1 = 8) y si sumas los cinco primeros
términos y añades 1, da como resultado el séptimo
(1+1+2+3+5 + 1
= 13).
Que en su forma general diría:
"Si
sumas n terminos
consecutivos, partiendo del k-ésimo, y le añades k, da
como resultado el termino (k+n+1)-ésimo."
:-) Si
sumas los tres primeros términos que ocupan posición
impar (t 1 ,t 3 ,t
5 ), da como resultado el sexto término (t 6 ), (1+2+5 =
8) y si sumas los
cuatro
primeros términos que ocupan posición impar (t 1 ,t 3 ,t
5 ,t 7 ) da como resultado
el octavo término (t 8 ), (1+2+5+13 = 21).
Si
sumas los tres primeros términos que ocupan posición par
(t 2 ,t 4 ,t 6
) y añades 1, sale el séptimo término (t 7 ),
(1+3+8 + 1 =13). Si
sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición
par (t 2 ,t 4 ,t
6 ,t 8 ) y añades 1, sale el noveno término (t 9 ),
(1+3+8+21 + 1
=34).
Que en su forma general diría:
"Si sumas n terminos
impares (resp. pares) consecutivos, partiendo del k-ésimo, y le
añades el término (k-1)-ésimo, da
como resultado el termino (k+2n-1)-ésimo."
¡Aún las hay más
difíciles de imaginar!
:-) Tomemos
dos términos consecutivos, por ejemplo: t 4 =3 y t 5 =5;
elevando al
cuadrado y sumando: 32+52=9+25=34 que es el noveno ( 4+5 )
término de
la sucesión. Tomando t 6 =8 y t 7 =13; elevando al cuadrado y
sumando:
82+132=64+169=233 que es el ( 6+7 ) decimotercer término de la
sucesión.
:-) Ahora bien, si elevamos al cuadrado los cinco
primeros términos y los
sumamos, sale
el producto del quinto y el sexto término:
12+12+22+32+52=40=5*8. Si
hacemos lo mismo para los seis primeros términos, sale el
producto del
sexto y el séptimo término:12+12+22+32+52+82=104=8*13.
Y
quizás la más sorprendente sea la siguiente propiedad:
Dividamos dos
términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor
entre el menor y
veamos lo que obtenemos:
|
1 : 1
|
=
|
1
|
|
2 : 1
|
=
|
2
|
|
3 : 2
|
=
|
1.5
|
|
5 : 3
|
=
|
1.66
|
|
8 : 5
|
=
|
1.6
|
|
13 : 8
|
=
|
1.625
|
|
21 :13
|
=
|
1.6153846...
|
|
34 :21
|
=
|
1.6190476...
|
|
55 :34
|
=
|
1.6176471...
|
|
89 :55
|
=
|
1.6181818..
|
Al
tomar más términos de la sucesión y hacer su
cociente nos acercamos al
número de oro (ver número de oro). Cuanto mayores son los
términos, los
cocientes se
acercan más a \Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618039\ldots.
En lenguaje
matemático:
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{t_n}{t_{n-1}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
Efectivamente, supongamos que \frac{t_n}{t_{n-1}} sea
convergente y que L es su límite, entonces
L=\lim{\frac{t_n}{t_{n-1}}}=\lim{\frac{t_{n-1}+t_{n-2}}{t_{n-1}}}=\lim{1+\frac{t_{n-2}}{t_{n-1}}}
=1+\lim{\frac{1}{\frac{t_{n-1}}{t_{n-2}}}}=1+\frac{1}{\lim{\frac{t_{n-1}}{t_{n-2}}}}=
1+\frac{1}{L}
de donde obtenemos que
L^{2}-L-1=0
y como nuestro límite debe ser positivo obtenemos que
L=\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618039\ldots
lo que demuestra que el límite de la sucesión de Fibonacci
es el número de oro, pero no sólo eso, hemos demostrado
que el límite
de toda sucesión, tal que cada término sea la suma de los
dos
anteriores, es efectivamente el número de oro.