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Temas: Matemáticas. Naturaleza. Arte. Mapa del sitio. Mail. |
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Curvas
de una Curva Plana.
Introducción (nociones básicas).
El esquema general donde trabajaremos es un plano donde se encuentra una curva genérica
y un punto 
en
que se desplaza hasta 
, en este contexto, dibujaremos
además las tangentes a la curva en los puntos
y , y las llamaremos respectivamente 
y 
,
al ángulo que se forma entre estas tangentes lo llamaremos 
,
también dibujaremos las normales a la curva en los
puntos y , y las llamaremos respectivamente 
y 
, todo lo anterior como se muestra en la siguiente figura
él cómo a través de una curva podemos obtener estas tangentes y normales lo dejaremos de ejercicio, un método es obtener la parametrización de la curva y luego hacer gala de los conocimientos tanto de diferenciación como de geometría analitica, conocimientos que no son necesarios para entender las nociones básicas que a continuación relataremos.
Observemos también, que el lector debe ser lo suficientemente habil para entender la idea esencial, con la cual podrá explotar su racionalidad y obtener la rigurosidad que desea.
Círculo de Curvatura
La primera nocion básica es la de círculo de curvatura en el punto
de la curva , y éste es el que
más se asemeja a la curva en el punto en cuestión, lo que
se puede apreciar en la siguiente figura
donde el círculo de curvatura de la curva
en el
punto se ha dibujado en color amarillo. Notemos que
éste, también posee como tangente en el punto
a y que la normal a la curva en el punto
también pasa por su centro 
. En realidad la tangente
y la normal están estrechamente relacionadas con este
círculo. Este circulo se encuentra entonces totalmente
determinado por la tangente, la normal y su centro de circunferencia,
es por esto que en la primera figura sólo aparecen y
que son los centros de circunferencias de la curva
en los puntos y respectivamente
recordemos que ésta es la figura con la que estamos trabajando.
Radio de Curvatura
El radio de curvatura de la curva
en el punto
es el radio del círculo de curvatura. La noción es tan
sencilla, que plantear su definición de otra forma es
simplemente atrofiar la intuición. Además, por su misma
definición, resulta totalmente determinado el círculo de
curvatura sabiendo simplemente la normal a la curva en el punto y el
radio de curvatura. Recordemos también que la normal a la curva
se determina de forma directa con la tangente, como el producto cruz de
la tangente y un vector perpendicular al plano.Observemos también que una recta tiene como círculo de curvatura uno de radio infinito.
Curvatura
La curvatura se define como el inverso multiplicativo del radio de curvatura, es decir, si
es el radio de curvatura de la
curva en el punto , la curvatura 
de
la curva en el punto está dada por 
por ejemplo una recta tentrá una curvatura
en todo punto.Obtención práctica
Ahora bién, el lector que no sea completamente romo, se habrá dado cuenta que encontrar el circulo de curvatura de una curva arbitraria
, es realmente un problema dificil con
estas definiciones, es más, resulta casi como una
aberración matemática el dibujar circulos una y otra vez
hasta dar con uno que se ajuste con nuestra curva. Es por esto que el
tener estas definiciones en la cabeza sin ocupar nuestra inteligencia
no nos sirven de nada, apliquemosla entonces.Primero, recordamos que la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es
y entonces, como la suma de los
ángulos internos del cuadrilátero formado por las
tangentes y normales en los puntos y es 
,
no queda otra que el ángulo entre las normales sea igual al
ángulo entre las tangentes, como se aprecia en
la siguiente figura
Recordemos ahora que el ángulo
es muy facil de
determinar una vez que hemos obtenido las tangentes unitarias, pues su
coseno no es ni más ni menos que el producto punto entre ellas.Pues bien, la forma de determinar el radio de circunferencia en el punto
, es aproximandolo como el cociente entre la distancia
entre el punto y el punto , que llamaremos 
,
y el ángulo entre las tangentes de estos
puntos, es decir
esta ecuación, proviene del hecho, de que cuando
y
están muy próximos, los puntos y
también lo estarán, y luego y ,
aproximadamente formarán parte de un mismo circulo, claro
está que esta aproximación desaparece cuando el punto
lo acercamos infinitesimalmente al punto .
