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La
sucesión de Fibonacci.
Propiedades.
La sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas. Para que resulte más sencillo las hemos enunciado en casos particulares (aunque se cumplen en general) y hemos calculado los primeros catorce términos de esta sucesión, para que su verificación sea inmediata:
| t 1 | t 2 | t 3 | t 4 | t 5 | t 6 | t 7 | t 8 | t 9 | t 10 | t 11 | t 12 | t 13 | t 14 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
:-) Si sumas los cuatro primeros términos y añades 1, da como resultado el sexto ((1+1+2+3)+1 = 8) y si sumas los cinco primeros términos y añades 1, da como resultado el séptimo (1+1+2+3+5 + 1 = 13).
Que en su forma general diría:
"Si
sumas n terminos
consecutivos, partiendo del k-ésimo, y le añades k, da
como resultado el termino (k+n+1)-ésimo."
:-) Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar (t 1 ,t 3 ,t 5 ), da como resultado el sexto término (t 6 ), (1+2+5 = 8) y si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición impar (t 1 ,t 3 ,t 5 ,t 7 ) da como resultado el octavo término (t 8 ), (1+2+5+13 = 21).
Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición par (t 2 ,t 4 ,t 6 ) y añades 1, sale el séptimo término (t 7 ), (1+3+8 + 1 =13). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición par (t 2 ,t 4 ,t 6 ,t 8 ) y añades 1, sale el noveno término (t 9 ), (1+3+8+21 + 1 =34).
Que en su forma general diría:
"Si sumas n terminos impares (resp. pares) consecutivos, partiendo del k-ésimo, y le añades el término (k-1)-ésimo, da como resultado el termino (k+2n-1)-ésimo."
¡Aún las hay más difíciles de imaginar!
:-) Tomemos dos términos consecutivos, por ejemplo: t 4 =3 y t 5 =5; elevando al cuadrado y sumando: 32+52=9+25=34 que es el noveno ( 4+5 ) término de la sucesión. Tomando t 6 =8 y t 7 =13; elevando al cuadrado y sumando: 82+132=64+169=233 que es el ( 6+7 ) decimotercer término de la sucesión.
:-) Ahora bien, si elevamos al cuadrado los cinco primeros términos y los sumamos, sale el producto del quinto y el sexto término: 12+12+22+32+52=40=5*8. Si hacemos lo mismo para los seis primeros términos, sale el producto del sexto y el séptimo término:12+12+22+32+52+82=104=8*13.
Y quizás la más sorprendente sea la siguiente propiedad:
Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos:
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1 : 1
|
=
|
1
|
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2 : 1
|
=
|
2
|
|
3 : 2
|
=
|
1.5
|
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5 : 3
|
=
|
1.66
|
|
8 : 5
|
=
|
1.6
|
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13 : 8
|
=
|
1.625
|
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21 :13
|
=
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1.6153846...
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34 :21
|
=
|
1.6190476...
|
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55 :34
|
=
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1.6176471...
|
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89 :55
|
=
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1.6181818..
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Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro (ver número de oro). Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más a
.En lenguaje matemático:
Efectivamente, supongamos que
sea
convergente y que 
es su límite, entonces
de donde obtenemos que
y como nuestro límite debe ser positivo obtenemos que
lo que demuestra que el límite de la sucesión de Fibonacci es el número de oro, pero no sólo eso, hemos demostrado que el límite de toda sucesión, tal que cada término sea la suma de los dos anteriores, es efectivamente el número de oro.
