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2 Teoría de Grupos

2.1 Definiciones Básicas

Definición 5 (Grupo) Sea $(A, \ast)$ una estructura algebraica con una ley de composición interna. Decimos que $(A, \ast)$ es un grupo si:

$\ast$ es asociativa.
$\ast$ tiene neutro $1 \in G$ .
toda $g \in G$ tiene inverso $g^{-1} \in G$ para $\ast$ .

Con esta definición de grupo, es directo que el neutro es único, al igual que el inverso $g^{-1}$ de $g \in G$ .

También se tienen las siguientes propiedades:

$(g^{-1})^{-1}=g$ .
$(g\ast h)^{-1}= h^{-1}\ast g^{-1}$ .

Un grupo $(G,\ast)$ , donde $\ast$ es conmutativo, se denomina Abeliano.

Ejemplos: Los siguientes son algunos ejemplos de grupos

$\bullet$: $(\mathbbm{Z}, +)$ es un grupo abeliano.
$\bullet$: $(\mathbbm{Z}_{p},+)$ es un grupo abeliano.
$\bullet$: Sea $A=\{ \pi : \{ 1,2,3 \} \to \{ 1,2,3 \} \mid \pi$ es función biyectiva $\}$ y se considera la operación $\ast:$ ``composición de funciones". Este conjunto tiene 6 elementos que se pueden nombrar $\pi_{0}, \pi_{1}, \pi_{2}, \pi_{3}, \pi_{4}, \pi_{5}$ . Luego la operación se puede ver en la tabla
$\begin{displaymath} \begin{array}{c\vert cccccc} \ast & \pi_{0} & \pi_{1} & \p... ... \pi_{4} & \pi_{3} & \pi_{2} & \pi_{1} & \pi_{0} \end{array} \end{displaymath}$
Con esta operación $(A, \ast)$ es un grupo, pero no es abeliano.

Definición 6 (Morfismo de grupos) Una función $f:G \to H$ , entre dos grupos $(G,\ast),(H,\diamond)$ se dice morfismo (u homomorfismo) ssi:

$\displaystyle \forall x,y \in G\qquad f(x\ast y) = f(x) \diamond f(y).$

Un morfismo inyectivo suele llamarse monomorfismo, uno sobreyectivo se llama epimorfismo, y finalmente un morfismo biyectivo se llama isomorfismo.

$\displaystyle (G,\cdot) \cong (H,\ast) \Leftrightarrow G$ isomorfo a $\displaystyle H$

Endomorfismo es un morfismo de un grupo en si mismo; un automorfismo es un isomorfismo endomorfo.

Propiedades

Si $f:G \to H$ es un morfismo de grupos, entonces

.
Si $g \in G$ , $f(g^{-1})=f(g)^{-1}$ .

Si $f:G \to H$ es un morfismo de grupos llamaremos Núcleo de

a $Ker(f)=f^{-1}(1)$ .

Con esto, es monomorfismo $\Leftrightarrow Ker(f)=\{1\}$ .

Ejemplos:

$\bullet$: La función logaritmo (en cualquier base), $log : (\mathbbm{R}_{+},\cdot) \to (\mathbbm{R},+)$ tiene la conocida propiedad $log(a \cdot b) = log(a) + log(b)$ , y como es biyectiva, es un isomorfismo entre $(\mathbbm{R}_{+},\cdot)$ y $(\mathbbm{R}, +)$ . Así $(\mathbbm{R}_{+},\cdot)$ y $(\mathbbm{R}, +)$ son estructuras isomorfas.
$\bullet$: Si $\alpha \in \mathbbm{R}$ es un real fijo, la función $f:(\mathbbm{R},+) \to (R,+)$ tal que $f(x)=\alpha \cdot x$ es un homomorfismo, dado que $f(x_{1}+x_{2}) = \alpha \cdot (x_{1}+x_{2}) = \alpha \cdot x_{1} + \alpha \cdot x_{2} = f(x_{1}) + f(x_{2})$ . Si además $\alpha \neq 0$ , entonces es un automorfismo.

Definición 7 (Subgrupo) Si $(G,\ast)$ es un grupo, y $H \subseteq G$ , diremos que es un subgrupo de si $(H,\ast)$ es también un grupo.

es un subgrupo de $(G,\ast)$ , el neutro de $(H,\ast)$ es el mismo que el de $(G,\ast)$ , y para cada $g \in H$ , si $g^{-1} \in G$ es su inverso en $(G,\ast)$ , también $g^{-1}$ es el inverso de

en $(H,\ast)$ (y por lo tanto $g^{-1} \in H$ ).

Una caracterización de los subgrupos es la siguiente:

$H \subseteq G$ es subgrupo ssi:

$H \neq \emptyset$ .
$(\forall x,y \in H) \qquad x \ast y^{-1} \in H$ .

Definición 8 Si $(G,\ast)$ es grupo, una relación de equivalencia $\sim$ en G se dice compatible con $\ast$ ssi:

$\displaystyle (\forall x,x',y,y' \in G) \qquad x \sim x' \wedge y \sim y' \Rightarrow x \ast y \sim x' \ast y'.$

Dada una relación de equivalencia $\sim$ compatible con $\ast$ , podemos definir una l.c.i. en el conjunto cociente $G/\sim$ .

$\displaystyle [x] \ast [y] = [x \ast y].$

La compatibilidad hace que la operación $\ast$ en $G/\sim$ esté bien definida. Es directo que en este caso $(G/\sim, \ast)$ resulta ser un grupo, y la sobreyección canónica

$\nu :$		$\to$	$G/\sim$
		$\to$	$\nu (x) = [x].$

es un epimorfismo. (Por este motivo $\nu$ también recibe el nombre de epimorfismo canónico).

Ahora, si $\sim$ es compatible con $\ast$ , entonces

$\displaystyle x \sim y$	$\displaystyle \Leftrightarrow 1 = x^{-1} \ast x \sim x^{-1} \ast y$ (compatibilidad y $\sim$ refleja) $\displaystyle .$
	$\displaystyle \Leftrightarrow x^{-1} \ast y \in [1].$

Llamemos

(subgrupo). Con esto se tiene la siguiente propiedad:

Si $h \in H$ y $x \in G$ es un elemento cualquiera de , entonces $x \ast h \ast x^{-1} \in H$ . En efecto:

$\displaystyle h \in H$	$\displaystyle \Leftrightarrow h \sim 1.$
	$\displaystyle \Rightarrow x \ast h \sim x \ast 1 = x$ (compatibilidad de $\sim$ con $\ast$ ).
	$\displaystyle \Rightarrow (x \ast h) \ast x^{-1} \sim x \ast x^{-1} = 1$ (compatibilidad de $\sim$ con $\ast$ ).
	$\displaystyle \Rightarrow x \ast h \ast x^{-1} \in H =[1]$ (asociatividad para eliminar paréntesis).

O sea, $(\forall x \in G) \ x \ast H \ast x^{-1} = \{ x \ast h \ast x^{-1} \mid h \in H \} \subseteq H$ .

Definición 9 (Subgrupo normal) Un subgrupo H de G tal que satisface

$\displaystyle (\forall x \in G) \quad x \ast H \ast x^{-1} \subseteq H.$

se llama subgrupo normal de G.

Se usará la siguiente notación para designar a los subgrupos normales de

$\displaystyle H \lhd G \Leftrightarrow$ $H$ subgrupo normal de $G$ $\displaystyle .$

Esto caracteriza completamente a las relaciones compatibles con $\ast$ . En efecto, si partimos de un subgrupo normal $H \lhd G$ dado, definimos la relación $\sim_{H}$ en

tal que

$\displaystyle x \sim_{H} y \Leftrightarrow x^{-1} \ast y \in H$

Entonces

$\sim_{H}$ es de equivalencia en G.
$\sim_{H}$ es compatible con $\ast$ .
.

Notación: Si G es un grupo, y $H \lhd G$ , el cociente $G/\sim_{H}$ se anota como

. Ejemplos:

$\bullet$

Cualquier subgrupo de un grupo Abeliano $(A, \ast)$ es un subgrupo normal, gracias a la conmutatividad de la operación $\ast$ . En efecto, sea

subgrupo de

. Entonces

$\displaystyle x \ast H \ast x^{-1}= \{ x \ast h \ast x^{-1} \mid h \in H \} \s... ...rel{ \text{$\ast$ conmuta}}{=} \{ (x \ast x^{-1}) \ast h \mid h \in H \} = H.$

$\bullet$

El núcleo de todo morfismo de grupos $f:G \to H$ es un subgrupo normal de G; es más, todos los subgrupos normales de G son núcleos de algún morfismo. En efecto

Si $a \in G$ y $x \in Ker(f)$ Por lo tanto $a \ast x \ast a^{-1} \in Ker(f) \Rightarrow Ker(f)$ subgrupo normal.
Si $K \lhd G$ , tomemos y $f=\nu_{K} : G \to G/K$ morfismo. Luego
$\displaystyle \nu_{K}(x) = 1 \in G/K \Leftrightarrow [x] = [1] = K \Leftrightarrow x \in K.$
Luego $Ker(\nu_{K}) = K$ .

Definición 10 (Subgrupo generado por un subconjunto) Sea un grupo, y $A \subseteq G$ un subconjunto cualquiera. Denotemos

$\displaystyle <A> = \bigcap_{A \subseteq H \atop \text{H subgrupo}} H .$

el subgrupo generado por A.

Se tiene $A \subseteq <A>$ . Mas aun,

es más pequeño (en el sentido de la inclusión) de los subgrupos de

que contiene a

. Evidentemente, si

es subgrupo de

entonces

Es también claro que

$\displaystyle A \subseteq \underbrace{\{ {a_{1}}^{n_{1}} \cdots {a_{k}}^{n_{k}... ... n_{1}, \cdots ,n_{k} \in \mathbbm{Z}\}}_{\text{ es subgrupo}} \subseteq <A>.$

Por lo tanto:

$\displaystyle <A> = \{ {a_{1}}^{n_{1}} \cdots {a_{k}}^{n_{k}} \mid k \geq 0, \ a_{1}, \cdots , a_{k} \in A \ ; \ n_{1}, \cdots ,n_{k} \in \mathbbm{Z}\}.$

Caso interesante

Si $A = \{ a \}$ entonces $<A> = \{ a^n \mid n \in \mathbbm{Z}\}$ y se denomina subgrupo cíclico generado por a.

Un grupo se dice cíclico si

$\displaystyle \exists a \in G \$ tal que $\displaystyle \ <\{a\}> = G.$

Así $G = \{ a^n \mid n \in \mathbbm{Z}\}$ . Veremos que los grupos cíclicos son "pocos", y para eso nos ayudaremos del siguiente resultado.

Teorema 1 (Teorema del factor) Si grupos, $f:G \to H$ morfismo, y $K \lhd G$ tal que $K \subseteq Ker(f)$ . Entonces:

$\displaystyle \exists ! \$ morfismo $\displaystyle \ \widetilde{f} : G/K \to H .$

tal que el diagrama siguiente es conmutativo

$\displaystyle \xymatrix{G \ar[rr]^f \ar[dr]^{\nu} & & H \\ & G/H \ar[ur]^{\widetilde{f}} & }$

Con $\nu$ el epimorfismo canónico (introducido anteriormente). Es claro que $f = \widetilde{f} \circ \nu$ . Se dice que f se factoriza a través de G/K. Además

f es un epimorfismo	$\Leftrightarrow$	$\widetilde{f}$ es un epimorfismo.
$\widetilde{f}$ es monomorfismo	$\Leftrightarrow$	.

Usando este resultado se puede demostrar la siguiente proposición

Proposición 2 Si G es un grupo cíclico, entonces:

$\bullet$: Si G es infinito $\Rightarrow \ G \cong (\mathbbm{Z}, +)$ .
$\bullet$: Si G es finito $\Rightarrow \ G \cong (\mathbbm{Z}_{p}, +)$ .

Donde $p \geq 1$ ( notemos que $p = \vert G\vert$ ).

Universidad de Chile

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas

Centro de Modelamiento Matematico

Departamento de Ingeniería Matemática