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3 Acciones de Grupos

Definición 11   Sea $ (G,\ast)$ un grupo, y $ X \neq \emptyset $ un conjunto. Una acción (izq) de $ G$ en $ X$ es una función
$ \mu : $ $ G \times X $ $ \to$ $ X$

$ (g,x) $ $ \to$ $ \mu (g,x) \stackrel{\text{\tiny notaci\'on}}{=} g \cdot x $.
Con las siguientes propiedades
  1. $ (\forall x \in X) \quad 1 \cdot x = x.$
  2. $ (\forall g,h \in G) \quad g \cdot (h \cdot x) = (g \ast h) \cdot x .$
Ahora veamos algunos ejemplos de acciones:
  1. Sea $ G$ un grupo cualquiera de $ (Biy(X),\circ)$, donde $ Biy(X)=\{f \mid f:X \to X$    es biyectiva$ \}$. La siguiente es una acción de $ G$ en $ X$:
    $ G \times X $ $ \to$ $ X$
    $ (g,x) $ $ \to$ $ g \cdot x = g(x)$.
  2. Sea $ X=G$. La siguiente es una acción de $ G$ (como grupo) en $ G$ (como conjunto).
    $ G \times G$ $ \to$ $ G$
    $ (g,x) $ $ \to$ $ g \cdot x = g \ast x $.
  3. Acción de $ G$ sobre si mismo por conjugación
    $ G \times G$ $ \to$ $ G$
    $ (g,x) $ $ \to$ $ g \cdot x = g \ast x \ast g^{-1}$.
Observación: Si $ (G,\ast)$ es un grupo y $ X \neq \emptyset $, una acción derecha de $ G$ en $ X$ es una función:
$ \delta : $ $ G \times X $ $ \to$ $ X$
  $ (g,x) $ $ \to$ $ \delta (g,x) \stackrel{\text{\tiny notaci\'on}}{=} x \cdot g.$
Tal que:
  1. $ (\forall x \in X) \quad x \cdot 1 = x. $
  2. $ (\forall g,h \in G) \quad (x \cdot g)\cdot h = x \cdot (g \ast h).$
Nótese que no es igual a una acción izquierda, porque $ G$ no es necesariamente abeliano. Dada una acción derecha cualquiera ($ \cdot$), tiene asociada una acción izquierda canónica ($ \diamond$):
$ G \times X $ $ \to$ $ X$
$ (g,x) $ $ \to$ $ g \diamond x \stackrel{\text{\tiny def}}{=} x \cdot g^{-1} $.
Otra posible definición de una acción:

Si

$ G \times X $ $ \to$ $ X$
$ (g,x) $ $ \to$ $ g \cdot x$.
es una acción, y se deja $ g \in G$ fijo, se define una función:
$ \mu_{g} : $ $ X$ $ \to$ $ X$
  $ x $ $ \to$ $ \mu_{g} (x) = g \cdot x$.
$ \mu_{g}$ es una biyección, y su inversa es $ \mu_{g^{-1}}$. Además
$\displaystyle \mu_{g} \circ \mu_{h} = \mu_{g \ast h}.$
$\displaystyle \mu_{1} = id_{X}.$
Se tiene que entonces existe una función:
$ \phi : $ $ G$ $ \to$ $ Biy(X)$
  $ g$ $ \to$ $ \phi (g) = \mu_{g} .$
que es un morfismo de $ (G,\ast)$ en $ (Biy(X),\circ)$. Con esto $ \mu$ (acción) produce $ \phi$ (morfismo).

Al reves, si

$\displaystyle \psi : (G, \ast) \to (Biy(X), \circ)$
es un morfismo, definamos
$ \mu : $ $ G \times X $ $ \to$ $ X$
  $ (g,x) $ $ \to$ $ \psi (g) (x) \stackrel{\text{\tiny notaci\'on}}{=:} g \diamond x.$
Es una acción de $ G$ en $ X$. En efecto:
  1. $ 1 \diamond x = \psi (1) (x) = id_{X} (x) = x.$
  2. $ g \diamond (h \diamond x) = \psi (g) \big( \psi (h)(x) \big) = [\psi (g) \circ \psi (h)](x) = \psi (g \ast h)(x) = (g \ast h) \diamond x.$
Así, las acciones de $ G$ en $ X$ son exactamente los morfismos de $ (G,\ast)$ en $ (Biy(X), \circ).$ Notación: Si
$ G \times X $ $ \to$ $ X$
$ (g,x) $ $ \to$ $ g \cdot x$
es una acción, se denotara órbita de un elemento $ x \in X$ por la acción de $ G$, al conjunto
$\displaystyle Orb(x) = \{ g \cdot x \mid g \in G\}.$
Acá lo que hay escondido es una relación de equivalencia en $ X$
$\displaystyle x \sim y \Leftrightarrow (\exists g \in G) \quad y = g \cdot x .$
Con esto $ Orb(x) = [x]$ y
$\displaystyle X = \coprod_{\lambda \in \Lambda} Orb(x_{\lambda})$
$ \{ x_{\lambda} : \lambda \in \Lambda \} $ contiene un representante por órbita.

Una acción se dice transitiva si produce una sola órbita, es decir ssi:

$\displaystyle (\forall x,y \in X)(\exists g \in G)$    tal que$\displaystyle \quad y = g \cdot x.$
Nomenclatura: Si $ \mu : G \times X \to X$ es una acción de $ G$ en $ X$, diremos que $ X$ es un $ G$-espacio. El $ G$-espacio se dice homogéneo, si la acción es transitiva.

Si $ (G,\ast)$ es un grupo, y $ X,Y$ son dos $ G$-espacios. Un morfismo de G-espacios es una función $ f:X \to Y$ tal que :

$\displaystyle (\forall x \in X)(\forall y \in Y) \quad f(g \cdot x) = g \cdot f(x).$
Tal función $ f$ se denotara función G-equivariante.

Sea $ X$ un $ G$-espacio, y sea $ x_{0} \in X$. Se denotara estabilizador de $ x_{0}$ al subconjunto de $ G$:

$\displaystyle Est(x_{0}) = \{ g \in G \mid g \cdot x_{0} = x_{0} \}.$
Claramente el estabilizador es subgrupo de $ G$.
Teorema 2   Si $ X$ es un $ G$-espacio homogéneo, entonces
$\displaystyle X \cong G/H$   isomorfismo de G-espacios$\displaystyle .$
donde $ H=Est(x_{0})$, $ x_{0} \in X$ cualquiera.



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