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1 Preliminares.

Subsecciones

1.1 Relaciones.

Definición 1   Dados dos conjuntos no vacíos $ A$ y $ B$ una relación (binaria) entre elementos de $ A$ y de $ B$ (o simplemente una relación entre $ A$ y $ B$) es una terna $ \mathcal{R} = (A,B,R)$ en que $ R$ es cualquier subconjunto de $ A \times B$.

Si $ \mathcal{R} = (A,B,R)$ es una relación, usaremos la notación $ a \mathcal{R} b$, que se lee ``$ a$ está relacionado por $ \mathcal{R}$ con $ b$", o simplemente ``$ a$ está relacionado con $ b$", para indicar el hecho de que $ (a,b) \in R$. Si $ (a,b) \in (A \times B)/R$ diremos que ``$ a$ no esta relacionado por $ \mathcal{R}$ con $ b$" y usaremos la notación $ a \cancela {\mathcal{R}} b$. Además, el conjunto $ A$ se dirá conjunto de partida, y $ B$ conjunto de llegada (o recorrido) de $ \mathcal{R}$.

Ejemplos:

  1. $ \mathcal{R}_{1}=(\mathbbm{N},\mathbbm{N},R_{1})$, donde $ R_{1}= \{ (a,b) \in \mathbbm{N} \times \mathbbm{N}\mid \ (\exists k \in \mathbbm{Z}) \ a -b=3k \}$
    (congruencia módulo 3).
  2. $ \mathcal{R}_{2}=(\mathbbm{N},\mathbbm{N},R_{2})$, donde $ R_{2}=\{ (n,m) \in \mathbbm{N}\times \mathbbm{N}\mid \ (\exists k \in \mathbbm{N}) \ m= k \cdot n\}$ (divisibilidad en $ \mathbbm{N}$).
  3. $ \mathcal{R}_{3}=(\mathbbm{R},\mathbbm{R},R_{3})$, donde $ R_{3}=\{ (x,y) \in \mathbbm{R}\times \mathbbm{R} \mid 3 \abs {x} - 2y \geq 7\}$.
Sea $ \mathcal{R} = (A,B,R)$ una relación. Definimos su dominio por $ \operatorname{Dom}(\mathcal{R})=\{ a \in A \mid \ (\exists b \in B) \ a \mathcal{R}b \}$, y su imagen por $ \operatorname{Im}(\mathcal{R})=\{ b \in B \mid \ (\exists a \in A) \ a \mathcal{R}b \}$. El conjunto $ R$ suele llamarse gráfico de la relación $ \mathcal{R}$ y se anota $ R = \mathcal{G} ( \mathcal{R})$. Es directo que $ R \subseteq \operatorname{Dom}(\mathcal{R}) \times \operatorname{Im}(\mathcal{R})$, pero en general no es cierta la igualdad como conjuntos.

Toda función induce a una relación. Si $ f:A \to B$ es una función, la relación asociada es
$ \mathcal{R}_{f} = (A,B, R_{f})$, donde el conjunto de pares ordenados $ R_{f}$ está dado por

$\displaystyle R_{f}=\{ (a,b) \in A \times B \mid \ b =f(a) \}.$

Claramente se cumple que $ a \mathcal{R}_{f} b \Leftrightarrow b =f(a)$, $ \operatorname{Dom}(\mathcal{R}_{f}) = \operatorname{Dom}(f)$ e $ \operatorname{Im}(\mathcal{R}_{f}) = \operatorname{Im}(f).$

Igualdad de relaciones: De la definición de relación como una terna, es directo que dos relaciones $ \mathcal{R}_{1} = (A_{1},B_{1},R_{1})$    y $ \mathcal{R}_{2}=(A_{2},B_{2},R_{2})$ son iguales ssi $ A_{1}=A_{2} \wedge B_{1}=B_{2} \wedge R_{1}=R_{2}$. A su vez, es también claro que si $ A_{1}=A_{2} \wedge B_{1}=B_{2}$, entonces $ R_{1}=R_{2} \Leftrightarrow (\forall a \in A_{1})(\forall b \in B_{1}) \ (a \mathcal{R}_{1} b \Leftrightarrow a \mathcal{R}_{2} b).$ De aquí que se cumple:

Proposición 1   Dos relaciones $ \mathcal{R}_{1}, \mathcal{R}_{2}$son iguales ssi
  1. $ \mathcal{R}_{1}$    y $ \mathcal{R}_{2}$ tienen el mismo conjunto de partida $ A$,
  2. $ \mathcal{R}_{1}$    y $ \mathcal{R}_{2}$ tienen el mismo conjunto de llegada $ B$, y
  3. Los elementos se relacionan por $ \mathcal{R}_{1}$    y $ \mathcal{R}_{2}$ de la misma forma, es decir,
    $ (\forall a \in A_{1})(\forall b \in B_{1}) \ (a \mathcal{R}_{1} b \Leftrightarrow a \mathcal{R}_{2} b).$

1.2 Relaciones donde $ A=B$.

Sea A un conjunto no vacío. Llamaremos a una relación $ \mathcal{R}= (A,A,R)$ de A en sí mismo, una relación binaria en $ A$, o simplemente una relación en $ A$, y abreviaremos su notación como $ \mathcal{R}=(A,R)$. En este caso aparecen 4 propiedades claves a ser estudiadas:
  1. Reflexividad: Decimos que $ \mathcal{R}$ es refleja (o reflexiva) ssi $ (\forall a \in A) \ a \mathcal{R}a$.
  2. Simetría: Decimos que $ \mathcal{R}$ es simétrica ssi $ (\forall a,b \in A) a \mathcal{R}b \Leftrightarrow b \mathcal{R}a$.
  3. Antisimetría: Decimos que $ \mathcal{R}$ es antisimétrica ssi $ (\forall a,b \in A) \ a \mathcal{R}b \wedge b \mathcal{R}a \Rightarrow a = b$.
  4. Transitividad: Decimos que $ \mathcal{R}$ es transitiva ssi $ (\forall a,b,c \in A) \ a \mathcal{R}b \wedge b \mathcal{R}c \Rightarrow a \mathcal{R}c$.
La simetría y la antisimetría no se dan usualmente juntas, sin embargo NO son una la negación de la otra. En efecto existen relaciones que satisfacen ambas propiedades, por ejemplo, la relación de igualdad en $ A: \ (\forall a,b \in A) \ a \mathcal{R}b \Leftrightarrow a =b$. Aquí $ \mathcal{R}=(A, \Delta_{A})$, donde $ \Delta_{A}= \{ (a,a) \mid a \in A \}$ es la llamada ``diagonal" de $ A$.

Ejemplo importante:

Estudiemos las 4 propiedades anteriores para la relación $ \mathcal{R}$ en $ \mathbbm{Z}$ tal que

$\displaystyle n \mathcal{R}m \Leftrightarrow (\exists k \in \mathbbm{Z}) \ n=m+k \cdot p.$

donde $ p \in \mathbbm{N}$ es un natural fijo. Esta relación se llama de congruencia módulo $ p$ y si $ n \mathcal{R}m$ decimos que ``$ n$ es congruente con $ m$ módulo $ p$", o que ``$ n$ es igual a $ m$ módulo $ p$". Son usuales las notaciones $ n \equiv m$ (mod $ p$) o $ n \equiv_{p} m$.
$ \bullet$
Simetría: Sean $ n,m \in \mathbbm{Z}$ tales que $ n \equiv_{p} m$. Hay que probar que $ m \equiv_{p} n$. Sabemos que $ n \equiv_{p} m \Leftrightarrow (\exists k \in \mathbbm{Z}) \ n = m + k \cdot p$. Sea $ k_{0} \in \mathbbm{Z}$ tal que $ n = m +k_{0} \cdot p$. Despejando se tiene que $ m = n + (-k_{0}) \cdot p$, Es decir hemos encontrado un entero $ k_{1} = -k_{0}$ tal que $ m = n + k_{1} \cdot p$ lo que prueba que $ m \equiv_{p} n$.
$ \bullet$
Refleja: Sea $ n \in \mathbbm{Z}$. Debemos probar que $ n \equiv_{p} n$. Es decir hay que encontrar $ k \in \mathbbm{Z}$ tal que $ n = n + k \cdot p$. Basta tomar $ k=0$, con lo cual $ n = n + 0 \cdot p = n$ y se concluye que $ n \equiv_{p} n$.
$ \bullet$
Transitividad: Sean $ n,m,l \in \mathbbm{Z}$ tales que $ m \equiv_{p} n \wedge n \equiv_{p} l$. Hay que probar que $ m \equiv_{p} l$. Se tiene $ m \equiv_{p} n \Leftrightarrow m = n + k_{1} \cdot p$ para un cierto $ k_{1} \in \mathbbm{Z}$, y $ n \equiv_{p} l \Leftrightarrow n = l + k_{2} \cdot p$ para un cierto $ k_{2} \in \mathbbm{Z}$. Luego, despejando, se obtiene $ m = l + (k_{1} + k_{2}) \cdot p$. Hemos encontrado un entero $ k_{3} = k_{1}+k_{2}$ tal que $ m = l + k_{3} \cdot p$, luego $ m \equiv_{p} l$.
$ \bullet$
Antisimetría: No lo es si $ p \neq 0$ pues, por ejemplo si $ n=0, m=p$, se tiene que $ 0 \equiv_{p} p$ y además $ p \equiv_{p} 0$ pero $ p \neq 0$. Si $ p=0$, la relación $ \equiv_{0}$ es la igualdad en $ \mathbbm{Z}$, por lo que no es sorprendente que $ \equiv_{0}$ sea también antisimétrica.
Además esta relación cumple las siguientes propiedades:
(a)
$ (\forall m_{1},m_{2},n_{1},n_{2} \in \mathbbm{Z}) \ m_{1} \equiv_{p} n_{1} \wedge m_{2} \equiv_{p} n_{2} \Rightarrow m_{1}+m_{2} \equiv_{p} n_{1}+n_{2}$.
(b)
$ (\forall m_{1},m_{2},n_{1},n_{2} \in \mathbbm{Z}) \ m_{1} \equiv_{p} n_{1} \we... ...{2} \equiv_{p} n_{2} \Rightarrow m_{1} \cdot m_{2} \equiv_{p} n_{1} \cdot n_{2}$.
En efecto, la hipótesis $ m_{1} \equiv_{p} n_{1} \wedge m_{2} \equiv_{p} n_{2}$ significa que $ m_{1} = n_{1} + k_{1} \cdot p \wedge m_{2}=n_{2} + k_{2} \cdot p$, para algunos $ k_{1},k_{2} \in \mathbbm{Z}$.
(a)
Sumando estas ecuaciones, obtenemos $ m_{1} + m_{2} = n_{1}+n_{2} + k_{1} \cdot p + k_{2} \cdot p = n_{1}+n_{2} + (k_{1}+k_{2}) \cdot p$, de donde sale que $ m_{1}+m_{2} \equiv_{p} n_{1} + n_{2}$.
(b)
Multiplicando las mismas ecuaciones, obtenemos $ m_{1} \cdot m_{2} = n_{1} \cdot n_{2} +(n_{1} \cdot k_{2} + n_{2} \cdot k_{1} + k_{1} \cdot k_{2} \cdot p) \cdot p$, de donde sale que $ m_{1} \cdot m_{2} \equiv_{p} n_{1} \cdot n_{2}$.

Definición 2  

  1. Decimos que una relación $ \mathcal{R}$ en $ A$ es de equivalencia ssi es refleja, simétrica y transitiva.
  2. Decimos que una relación $ \mathcal{R}$ en $ A$ es de orden ssi es refleja, antisimétrica y transitiva.

    Si $ \mathcal{R}$ es una relación de orden en $ A$, entonces si $ a \mathcal{R} b$ decimos que $ a$ precede de $ b$, y diremos que $ a$ y $ b$ son comparables ssi $ a \mathcal{R}b \lor b \mathcal{R}a$. Distinguimos dos tipos de ordenes:

    (a)
    Orden parcial: Si existe al menos un par de elementos $ a,b \in A$ que no son comparables por $ \mathcal{R}$.
    (b)
    Orden total: Si todo par de elementos $ a,b \in A$ son comparables por $ \mathcal{R}$.

Ejemplo: La relación de divisibilidad en $ \mathbbm{N}$ es un orden parcial y la relación $ \leq$ es un orden total.

1.3 Relaciones de equivalencia.

Recordemos que una relación $ \mathcal{R}$ en $ A$ es de equivalencia ssi es refleja, simétrica y transitiva.

Definición 3   Dado $ a \in A$ llamamos clase de equivalencia de $ a$ relativa a $ \mathcal{R}$ al conjunto
$ [a]_{\mathcal{R}} = \{ b \in A \mid a \mathcal{R}b \}$ (todos los elementos de $ A$ que están relacionados con $ A$).

Ejemplo: Considere la relación de congruencia módulo 2 en $ \mathbbm{Z}$ ( $ \equiv_{2}$). En esta relación $ [0]_{\mathcal{R}}$ es el conjunto de los pares, $ [1]_{\mathcal{R}}$ es el conjunto de los enteros impares, $ [3]_{\mathcal{R}}$ son los impares, $ [4]_{\mathcal{R}} = [0]_{\mathcal{R}}$. En este ejemplo existen sólo 2 clases de equivalencia distintas: $ [0]_{\mathcal{R}}$    y $ [1]_{\mathcal{R}}$. Observemos que
$ \mathbbm{Z}= [0]_{\mathcal{R}} \cup [1]_{\mathcal{R}}$. Además $ [0]_{\mathcal{R}} \cap [1]_{\mathcal{R}} = \emptyset$. Propiedades:

  1. Para cada $ a \in A, \ [a]_{\mathcal{R}} \neq \emptyset$.
  2. Para cada par de elementos $ a,b \in A$, si $ a \mathcal{R} b$, entonces $ [a]_{\mathcal{R}} = [b]_{\mathcal{R}}$.
  3. Para cada par de elementos $ a,b \in A$, si $ a \cancela {\mathcal{R}} b$, entonces $ [a]_{\mathcal{R}} \cap [b]_{\mathcal{R}} = \emptyset$.

Las dos propiedades anteriores permiten definir una partición de $ A$.

Esto es, una familia de subconjuntos de $ A$, dos a dos disjuntos, cuya unión es $ A$. De manera más precisa, existe un conjunto de subconjuntos no vacíos de $ A$, $ P \subseteq \mathcal{P}(A)$ (que será la partición de $ A$), tal que si $ B, B' \in P \wedge B \neq B'$ entonces $ B \cap B' = \emptyset$ (dos a dos disjuntos) y

$\displaystyle A= \bigcup_{B \in P} B.$

Esta última unión se entiende como sigue

$\displaystyle \bigcup_{B \in P} B = \{ x \in A \mid \ (\exists B \in P) \ x \in B \}.$

La partición que nos interesa construir es la formada por las clases de equivalencia de $ \mathcal{R}$, es decir,

$\displaystyle P_{\mathcal{R}} = \{ [a]_{\mathcal{R}} \mid a \in A \}.$

Este conjunto se llama conjunto cociente de $ \mathcal{R}$, y se suele anotar también como $ A / \mathcal{R}$.

Ejemplo importante:

Para $ p \in \mathbbm{N}$, encontrar el conjunto cociente de $ \mathbbm{Z}$ por la relación de equivalencia $ \equiv_{p}$, que denotamos por $ \mathbbm{Z}_{p}$(los ``enteros módulo p"). Denotamos a la clase de equivalencia de $ n \in \mathbbm{Z}$ como $ [n]_{p}$. Veamos primero un par de casos triviales:

$ \bullet$
Si $ p=0$, sabemos que $ \equiv_{0}$ es la igualdad en $ \mathbbm{Z}$, y entonces $ [n]_{0} = \{ n \}$ para cada $ n \in \mathbbm{Z}$. Luego $ \mathbbm{Z}_{0} = \{ \{n \} \mid n \in \mathbbm{Z}\}$.
$ \bullet$
Si $ p=1$, entonces es directo que $ (\forall m,n \in \mathbbm{Z}) \ m \equiv_{1} n$, por lo que hay una sola clase de equivalencia: $ [n]_{1} = \mathbbm{Z}$ para todos los enteros $ n$, y $ \mathbbm{Z}_{1} = \{ \mathbbm{Z}\}$ (un conjunto con un solo elemento).

Ahora supondremos que $ p \geq 2$. Esta es la restricción que generalmente se impone cuando se usan las congruencias módulo $ p$ en la práctica. Haremos uso de la división de números enteros, que se puede enunciar como sigue: Si $ a,b \in \mathbbm{Z}$ y $ b \neq 0$, entonces existe una única pareja de enteros $ q,r$, llamados respectivamente cociente y resto de la división de $ a$ por $ b$, tales que $ a = q \cdot b + r$, y además $ 0 \leq r < \abs {b}$.

Si $ n \in \mathbbm{Z}$ es un entero cualquiera, dividiéndolo por $ p$ obtenemos $ n = q \cdot p + r$, con $ 0 \leq r < p$. Pero esta ecuación dice que $ n \equiv_{p} r$, es decir, que $ n \in [r]_{p}$. De aquí que las clases de equivalencia para $ \equiv_{p}$ son sólo $ [0]_{p}, [1]_{p}, ... , [p-1]_{p}$. Además estas $ p$ clases son distintas entre sí, puesto que si $ r_{1} \equiv r_{2}$, para $ 0 \leq r_{1}, r_{2} < p$, entonces $ r_{2} = k \cdot p + r_{1}$. Pero como también $ r_{2}=0 \cdot p + r_{2}$, entonces la unicidad de la división de $ r_{2}$ por $ p$ entrega $ r_{1}=r_{2}$.

Concluimos entonces que $ \mathbbm{Z}_{p} = \big\{ [0]_{p},[1]_{p}, ... , [p-1]_{p} \big\} $, y tiene exactamente $ p$ elementos.

Estructuras Algebraicas

1.4 Leyes de composición interna

Definición 4   Sea $ A$ un conjunto no vacío. Una ley de composición interna (abreviado l.c.i.) en $ A$ es una función de $ A \times A$ en $ A$. Estas funciones también se llaman operaciones binarias (o, simplemente operaciones), y la notación que se usa para indicar el resultado de la ley de composición interna sobre $ (a,b) \in A \times A$ es $ a \ast b,\ a + b, \ a \cdot b$, etc. El ente $ a \ast b$ se lee ``$ a$ operado con $ b$ por la operación $ \ast$", por ejemplo. Usamos la notación $ (A, \ast)$ para indicar que el conjunto $ A$ esta dotado de la ley de composición interna. También decimos que $ (A, \ast)$ es una estructura algebraica.

Ejemplos:
  1. En $ A=\{ 0, 1 \} $ definimos la ley de composición interna suma módulo 2 por la siguiente tabla

    \begin{displaymath} \begin{array}{c\vert cc} +_{2} & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \end{displaymath}

    (se lee por ejemplo $ 0 +_{2} 1 = 1$). También se define la multiplicación modulo 2 por

    \begin{displaymath} \begin{array}{c\vert cc} \cdot_{2} & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \end{displaymath}

  2. En $ A=\{0,1,2,3 \}$ definimos la ley de composición interna suma módulo 4 por la siguiente tabla

    \begin{displaymath} \begin{array}{c\vert cccc} +_{4} & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hlin... ... 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 0 & 1 & 2 \end{array} \end{displaymath}

  3. El conjunto $ A = \mathbbm{Z}$ tiene la operación de suma como l.c.i.
  4. El conjunto $ \mathbbm{R}$ de los numeros reales tiene a la suma como l.c.i.
  5. Generalizando los ejemplos 1 y 2, para cada $ p \in \mathbbm{N}$ con $ p \geq 2$, definiremos una suma y una multiplicación en el conjunto $ \mathbbm{Z}_{p}$ de los enteros módulo $ p$. Recordemos de los ejemplos importantes anteriores que $ \mathbbm{Z}_{p}$ es el conjunto cociente de los enteros $ \mathbbm{Z}$ por la relación $ \equiv_{p}$ de congruencia módulo $ p$, y que $ \mathbbm{Z}_{p} = \big\{ [0]_{p},[1]_{p}, ... , [p-1]_{p} \big\} $. También vimos que $ \equiv_{p}$ cumplía las siguientes propiedades: $ (\forall m_{1},m_{2},n_{1},n_{2} \in \mathbbm{Z}) \ m_{1} \equiv_{p} m_{2} \w... ...\equiv_{p} n_{1} + n_{2} \wedge m_{1} \cdot m_{2} \equiv_{p} n_{1} \cdot n_{2}$. Esto se puede reescribir como

    $\displaystyle (\forall m_{1},m_{2},n_{1},n_{2} \in \mathbbm{Z}) \ [m_{1}] = [m... ...m_{1}+m_{2}]=[n_{1} + n_{2}] \wedge [m_{1} \cdot m_{2}] = [n_{1} \cdot n_{2}].$

    (Hemos omitido el subíndice $ p$ de la notación de las clases de equivalencia para facilitar un poco la lectura). Esta última propiedad nos indica que no hay ninguna ambigüedad al definir, para $ [m],[n] \in \mathbbm{Z}_{p},\ [m] +_{p} [n] = [m+n] \in \mathbbm{Z}_{p}, \ [m] \cdot [n] = [m \cdot n] \in \mathbbm{Z}_{p}$ (ya que, módulo $ p$, las operaciones no dependen del representante de cada clase). Resulta entonces que tenemos dos leyes de composición interna, $ +$ y $ \cdot$, definidas sobre $ \mathbbm{Z}_{p}$.

    Para simplificar la notación, muchas veces se eliminan incluso los paréntesis de la notación de clases de equivalencia en $ \mathbbm{Z}_{p}$, escribiendo $ \mathbbm{Z}_{p}=\{ 0,1,...,p-1 \}$. Suele también denotarse el + de $ \mathbbm{Z}_{p}$ como $ +_{p}$ y el $ \cdot$ de $ \mathbbm{Z}_{p}$ como $ \cdot_{p}$. Con estas convenciones, el ejemplo 1 es simplemente la suma y el producto en $ \mathbbm{Z}_{2}$, y el ejemplo 2 corresponde a la suma en $ \mathbbm{Z}_{4}$.

1.5 Propiedades básicas de las l.c.i

Sea $ (A, \ast)$ una estructura algebraica.
  1. Elementos Neutros: Decimos que $ e$ es un elemento neutro para una ley de composición interna $ \ast$ si se cumple

    $\displaystyle (\forall a \in A) \ e \ast a = a \ast e = a.$

    Propiedad: El neutro, cuando existe, es único (y tenemos entonces derecho a hablar de el neutro).

    En efecto, supongamos que existen neutros $ e$ y $ e'$. Luego $ e' = e \ast e' = e$.

  2. Asociatividad: Decimos que la l.c.i. en $ A$ es asociativa ssi

    $\displaystyle (\forall a,b,c \in A) \qquad (a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c).$

  3. Elementos inversos: Si existe neutro $ e$, decimos que $ a \in A$ tiene a $ b \in A$ como inverso, o que $ b$ es un inverso para $ a$ ssi

    $\displaystyle a \ast b = b \ast a = e. $

    En general, un inverso $ b$ para $ a \in A$ no es único. Cuando sea único lo denotaremos $ a^{-1}$. Una condición de unicidad es la siguiente,

    Propiedad: Si $ \ast$ tiene neutro y es asociativa entonces los inversos son únicos.

    En efecto, sean $ a \in A , \ b_{1},b_{2} \in A$ tales que $ a \ast b_{1} = b_{1} \ast a = e$ y $ a \ast b_{2} = b_{2} \ast a = e$. Luego operando por $ b_{2}$ la primera igualdad por la izquierda se obtiene $ b_{2} \ast ( a \ast b_{1}) = b_{2} \ast e$ . Como la ley es asociativa entonces $ (b_{2} \ast a ) \ast b_{1} = b_{2}$, de lo que deducimos que $ b_{1} = e \ast b_{1} = b_{2}$.

  4. Conmutatividad: Decimos que la l.c.i. $ \ast$ en $ A$ es conmutativa ssi

    $\displaystyle (\forall a, b \in A) \qquad a \ast b = b \ast a. $

Supongamos que $ (A, \ast)$ es una estructura algebraica asociativa y con neutro $ e.$

  1. Si $ a \in A$ tiene inverso que llamamos $ a^{-1}$ entonces $ a^{-1}$ tiene inverso y es $ (a^{-1})^{-1} = a $. En efecto, buscamos $ b \in A$ tal que $ a^{-1} \ast b = b \ast a^{-1} = e$. Pero sabemos que $ a \ast a^{-1} = a^{-1} \ast a = e$, luego por unicidad $ b = a$.
  2. Si $ a \in A$ tiene inverso $ a^{-1}$ y $ b \in A$ tiene inverso $ b^{-1}$ entonces $ a \ast b$ tiene inverso y es $ (a \ast b)^{-1} = b^{-1} \ast a^{-1}.$

    Verifiquemos que $ (a \ast b) \ast ( b^{-1} \ast a^{-1} ) = (b^{-1} \ast a^{-1}) \ast ( a \ast b ) = e.$

    $ (a \ast b) \ast (b^{-1} \ast a^{-1})$ $ =$ $ a \ast (b \ast b^{-1}) \ast a^{-1} $ (asociatividad)
      $ =$ $ a \ast e \ast a^{-1}$ ($ b^{-1}$ inverso de $ b$)
      $ =$ $ (a \ast e ) \ast a^{-1} = a \ast a^{-1} = e$, (razones similares)
    $ ( b^{-1} \ast a^{-1}) \ast (a \ast b)$ $ =$ $ b^{-1} \ast ( a^{-1} \ast a ) \ast b $  
      $ =$ $ (b^{-1} \ast e ) \ast b$  
      $ =$ $ b^{-1} \ast b = e.$  
    Por unicidad, $ (b^{-1} \ast a^{-1})$ es el inverso.

Veamos algunas propiedades adicionales de las l.c.i.:

  1. Cancelabilidad: Un elemento $ a \in A$ es cancelable ssi

    $\displaystyle (\forall b, c \in A) \ (a \ast b = a \ast c \Rightarrow b = c) \wedge (b \ast a = c \ast a \Rightarrow b = c). $

    Algunos elementos cancelables: Si existe neutro $ e$, este es cancelable; si existe neutro $ e$ y la l.c.i. es asociativa, entonces si $ a$ tiene inverso, será cancelable. En efecto

    $\displaystyle a \ast b$ $\displaystyle =a \ast c \qquad /a^{-1} \ast$    
    $\displaystyle a^{-1} \ast (a \ast b)$ $\displaystyle =a^{-1} \ast ( a \ast c)$    
    $\displaystyle (a^{-1} \ast a ) \ast b$ $\displaystyle =(a^{-1} \ast a ) \ast c$   (asociatividad)    
    $\displaystyle e \ast b$ $\displaystyle =e \ast c \qquad \qquad (a^{-1}$    inverso de $\displaystyle a)$    
    $\displaystyle b$ $\displaystyle = c \qquad \qquad \qquad ( e$    neutro$\displaystyle )$    

    Análogamente se prueba que $ (b \ast a = c \ast a \Rightarrow b = c)$ si $ a$ es invertible.
  2. Elemento Absorbente (cero): $ a \in A$ es un elemento absorbente ssi

    $\displaystyle (\forall b \in A) \ a \ast b = a \wedge b \ast a = a.$

    Por ejemplo en $ (\mathbbm{R}, \cdot)$ el 0 es absorbente.
  3. Elemento Idempotente: $ a \in A$ es un elemento idempotente ssi $ a \ast a = a$. A modo de ejemplo, un neutro y un absorbente son siempre idempotentes.



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