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Subsecciones
Definición 1 Dados dos conjuntos no
vacíos y una
relación (binaria) entre elementos de y de (o
simplemente una relación entre y ) es una terna
en que es cualquier subconjunto de
.
Si es una relación, usaremos la notación
, que se lee `` está
relacionado por
con ", o
simplemente `` está relacionado con ", para indicar el hecho
de que .
Si diremos que
`` no esta relacionado por con " y usaremos la
notación . Además, el conjunto se dirá
conjunto de partida, y conjunto de
llegada
(o recorrido) de .
Ejemplos:
-
, donde
(congruencia módulo 3).
-
,
donde
(divisibilidad en
).
-
, donde
.
Sea una relación. Definimos su dominio
por
, y
su imagen por
. El conjunto suele llamarse gráfico
de la relación y se anota
. Es
directo que
, pero en
general no es cierta la igualdad como conjuntos.
Toda función induce a una relación. Si es una función,
la relación asociada es
, donde
el conjunto de pares ordenados está dado por
Claramente se
cumple que
,
e
Igualdad de relaciones: De la definición de
relación como
una terna, es directo que dos relaciones
y son
iguales ssi
. A
su vez, es también claro que si
,
entonces
De aquí que
se cumple:
Proposición 1 Dos relaciones
son iguales ssi
-
y tienen el mismo conjunto de
partida ,
-
y tienen el mismo
conjunto de llegada , y
- Los elementos se relacionan por
y de la misma forma, es decir,

Sea A un conjunto no vacío. Llamaremos a una relación
de A en sí mismo, una
relación binaria en , o
simplemente una relación en , y abreviaremos su
notación como
. En este caso aparecen 4 propiedades claves a ser
estudiadas:
- Reflexividad: Decimos que
es refleja
(o reflexiva) ssi
.
- Simetría: Decimos que
es simétrica ssi
.
- Antisimetría: Decimos que
es antisimétrica
ssi
.
- Transitividad: Decimos que
es transitiva ssi
.
La simetría y la antisimetría no se dan usualmente
juntas, sin
embargo NO son una la negación de la otra. En efecto existen
relaciones que satisfacen ambas propiedades, por ejemplo, la
relación de igualdad en
. Aquí
, donde
es la llamada
``diagonal" de .
Ejemplo importante:
Estudiemos las 4 propiedades
anteriores para la relación en tal que
donde es un
natural fijo. Esta relación se llama de congruencia
módulo y
si decimos que `` es congruente con módulo ",
o que `` es igual a módulo ". Son usuales las notaciones
(mod ) o .

- Simetría: Sean
tales que . Hay que probar que
. Sabemos que
. Sea
tal que . Despejando se tiene
que , Es decir hemos encontrado un
entero tal que lo que
prueba que .

- Refleja: Sea
. Debemos probar que
. Es decir hay que
encontrar tal que . Basta tomar , con lo cual
y se concluye que
.

- Transitividad: Sean
tales que . Hay que probar
que . Se tiene
para un cierto
, y
para un cierto
. Luego,
despejando, se obtiene
. Hemos
encontrado un entero tal que
, luego
.

- Antisimetría:
No lo es si
pues, por ejemplo si , se tiene
que y además pero . Si , la relación es la igualdad en
, por lo que
no es sorprendente que sea también antisimétrica.
Además esta relación cumple las siguientes propiedades:
- (a)
-
.
- (b)
-
.
En efecto, la hipótesis
significa que
, para algunos
.
- (a)
- Sumando estas ecuaciones, obtenemos
, de donde sale que
.
- (b)
- Multiplicando las mismas ecuaciones, obtenemos
, de donde sale que
.
Ejemplo: La relación de divisibilidad en
es un orden
parcial y la relación es un orden total.
Recordemos que una relación en es de equivalencia
ssi es
refleja, simétrica y transitiva.
Definición 3 Dado
llamamos clase de
equivalencia de relativa a
al conjunto
(todos los
elementos de que están relacionados con ).
Ejemplo: Considere la relación de congruencia
módulo 2 en
(
). En esta relación
es el conjunto
de los pares, es el conjunto de los enteros impares,
son los impares,
. En este
ejemplo existen sólo 2 clases de equivalencia distintas:
y . Observemos que
. Además
.
Propiedades:
- Para cada
.
- Para
cada par de elementos
, si
, entonces
.
- Para cada par de elementos
,
si , entonces
.
Las dos propiedades anteriores permiten definir una
partición de .
Esto es, una familia de subconjuntos de , dos a
dos disjuntos,
cuya unión es . De manera más precisa,
existe un conjunto de
subconjuntos no vacíos de ,
(que
será la partición de ), tal que si
entonces
(dos a dos disjuntos) y
Esta última unión se entiende como sigue
La partición que nos interesa construir es la formada por las
clases de equivalencia de , es decir,
Este conjunto se llama
conjunto cociente de , y se suele anotar también
como .
Ejemplo importante:
Para , encontrar el conjunto cociente de
por la
relación de equivalencia , que denotamos por
(los ``enteros módulo p"). Denotamos a
la clase de equivalencia
de
como . Veamos primero un par de casos
triviales:

- Si
, sabemos que es la
igualdad en ,
y entonces para cada . Luego
.

- Si
, entonces es directo que
, por lo que hay una sola clase de
equivalencia:
para todos los enteros , y
(un conjunto con un solo elemento).
Ahora supondremos que . Esta es la
restricción que
generalmente se impone cuando se usan las congruencias módulo
en la práctica. Haremos uso de la división de
números enteros, que
se puede enunciar como sigue: Si
y ,
entonces existe una única pareja de enteros , llamados
respectivamente cociente y resto de la división de por ,
tales que , y además .
Si es un entero cualquiera, dividiéndolo por
obtenemos , con .
Pero esta
ecuación dice que , es decir, que
. De aquí que las clases de equivalencia
para
son sólo . Además
estas
clases son distintas entre sí, puesto que si
,
para , entonces . Pero como también
, entonces la
unicidad de la división de por entrega .
Concluimos entonces que
, y tiene
exactamente elementos.
Definición 4 Sea un
conjunto no vacío. Una ley de composición
interna (abreviado l.c.i.) en es una
función de
en . Estas funciones también se llaman operaciones
binarias (o,
simplemente operaciones), y la notación que se usa para indicar
el
resultado de la ley de composición interna sobre
es
, etc. El ente se lee `` operado con por la operación ", por
ejemplo. Usamos la notación
para indicar que el
conjunto esta dotado de la ley de composición
interna. También
decimos que es una estructura algebraica.
Ejemplos:
- En
definimos la ley de composición interna suma módulo 2
por la siguiente tabla
(se lee por ejemplo ). También se define la multiplicación
modulo 2 por
- En
definimos la ley de composición interna suma
módulo 4 por la siguiente tabla
- El conjunto
tiene la operación de suma como
l.c.i.
- El conjunto
de los numeros reales tiene a la
suma como l.c.i.
- Generalizando los ejemplos 1 y 2, para cada
con , definiremos una suma y una
multiplicación en el conjunto
de los enteros módulo .
Recordemos de los ejemplos importantes anteriores que
es
el conjunto cociente de los enteros por la relación
de congruencia
módulo , y que
. También
vimos que
cumplía las
siguientes propiedades:
. Esto se
puede reescribir como
(Hemos omitido el subíndice de la
notación de las clases de
equivalencia para facilitar un poco la lectura). Esta última
propiedad nos indica que no hay ninguna ambigüedad al definir,
para
(ya que,
módulo , las
operaciones no dependen del representante de cada clase). Resulta
entonces que tenemos dos leyes de composición interna, y , definidas sobre
.
Para simplificar la notación, muchas veces se eliminan
incluso los
paréntesis de la notación de clases de equivalencia en
,
escribiendo . Suele
también denotarse el
+ de como y el de
como .
Con estas convenciones, el ejemplo 1 es
simplemente
la suma y el producto en , y el ejemplo 2 corresponde a la
suma en .
Sea una estructura algebraica.
- Elementos Neutros: Decimos que
es un
elemento
neutro para una ley de composición interna si se
cumple
Propiedad: El neutro, cuando existe, es único (y
tenemos
entonces derecho a hablar de el neutro).
En efecto, supongamos que existen neutros y . Luego .
- Asociatividad: Decimos que la
l.c.i. en
es asociativa ssi
- Elementos inversos: Si existe neutro
, decimos
que tiene a como inverso, o que es un
inverso para ssi
En general, un
inverso para no es único.
Cuando sea único lo
denotaremos . Una condición de unicidad
es la siguiente,
Propiedad: Si tiene neutro y es
asociativa
entonces los inversos son únicos.
En efecto, sean
tales que
y
.
Luego operando por la primera igualdad por la
izquierda se
obtiene . Como la ley
es asociativa entonces
, de lo
que deducimos que .
- Conmutatividad: Decimos que la l.c.i.
en
es conmutativa ssi
Supongamos que es una estructura algebraica
asociativa
y con neutro
- Si
tiene inverso que llamamos entonces tiene inverso y es
. En efecto,
buscamos tal que
.
Pero sabemos que , luego por
unicidad .
- Si
tiene inverso y tiene inverso entonces tiene inverso y
es
Verifiquemos que
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(asociatividad) |
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( inverso de ) |
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, |
(razones
similares) |
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Por unicidad, es el inverso.
Veamos algunas propiedades adicionales de las l.c.i.:
- Cancelabilidad: Un elemento
es cancelable
ssi
Algunos elementos cancelables: Si existe neutro , este es
cancelable; si existe neutro y la l.c.i. es
asociativa,
entonces si tiene inverso, será cancelable. En
efecto
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(asociatividad) |
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inverso de  |
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neutro |
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Análogamente se prueba que
si es invertible.
- Elemento Absorbente (cero):
es
un elemento absorbente ssi
Por ejemplo en
el 0 es absorbente.
- Elemento Idempotente:
es
un elemento idempotente ssi . A modo de
ejemplo, un neutro y un absorbente son siempre idempotentes.
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