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Temas: Matemáticas. Naturaleza. Arte. Mapa del sitio. Mail. |
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Construcción
de caracolas.
Incorporando la curva generadora al modelo.
La curva generatriz
se especifica
en un sistema de coordenadas locales 
. Dado un
punto 
de
la
hélico-espiral 
, primero se pondera por
el factor 
con respecto al origen 
de este sistema, luego se rota y
traslada hasta que el origen de la curva coincida con
como se muestra en la figura:
A
continuación los ejes son usados
para orientar la curva generadora en el espacio
son usados
para orientar la curva generadora en el espacioLa solución simple
La solución más simple es rotar el sistema
hasta que el eje 
sea
paralelo al eje 
y el eje 
sea perpendicular al
eje .En este caso, si la curva generadora yace en el plano
, la abertura de la concha y las marcas de
crecimiento (tales como el relieve en la superficie de la caracola)
serán
paralelas al eje de la concha. Sin embargo, muchas conchas exhiben
aproximadamente marcas de crecimiento ortoclinales las que yacen en
planos normales a la hélico-espiral . La diferencia
entre este modelo y una verdadera caracola se puede apreciar en la
siguiente figura:
Una solución más sofisticada
Una mejor solución, que captura este efecto, se obtiene orientado el eje
a lo largo del
vector 
, tangente a la hélico-espiral en el punto .
La curva se
fija en el espacio alineando el eje con el vector normal
principal 
de . Los vectores unitarios y
se pueden obtener con las siguientes fórmulas:
Donde
y 
denotan a la primera y segunda derivada del vector posición ,
tomada con respecto a 
. Los vectores ,
y 
definen un sistema local de coordenadas ortonormales
llamado triedro de Frenet.
Éste, es considerado un
buen sistema de referencia para orientaciones más sofisticadas,
ya que no
depende de la parametrización de la hélico-espiral
o del
sistema de
coordenadas en la que es expresado. El triedro de Frenet no está
definido en los puntos sin curvatura, sin embargo, una
hélico-espiral siempre tiene curvatura no nula (
nunca se anula). El impacto en la orientación de la curva
generadora se puede apreciar en la siguiente figura:
donde se verifica que la abertura, así como el relieve, de la caracola real (ubicada a la izquierda), se ajusta mucho mejor al modelo que usa el triedro de Frenet (ubicado en el centro) en la orientación de la curva generadora, también se puede apreciar que el modelo más simple está lejos de ser el más adecuado.
En general la curva no se encuentra alineada ni con el eje de la caracola ni con el triedro de Frenet. Es más, en el caso de curvas que no sean planas es difícil definir lo que es estar alineado. También, resulta conveniente poder ajustar la orientación de la curva generadora con respecto a las coordenadas del sistema de referncia. Con este objetivo, nosotros permitimos la rotacion del sistema
con respecto
a cada eje y .
