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Temas: Matemáticas. Naturaleza. Arte. Mapa del sitio. Mail. |
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Construcción
de caracolas.
Construcción de la malla poligonal.
En el sentido matemático, la superficie de la caracola se define completamente con la curva generadora
, barriendola a lo
largo de la hélico-espiral 
Sin embargo, nosotros
representaremos esta superficie como una malla poligonal con el
propósito de renderizarla. La malla se construye especificando 
puntos en la curva generadora (incluyendo los puntos finales), y luego
conectandolos con sus correspondientes puntos de la siguiente curva
generadoora. La secuencia de poligonos que se encuentran en un par de
curvas generadoras adyacentes se llama rim.Al igual que en el proceso de orientación de la curva generadora, la obtención del rim cuenta con al menos dos formas posibles de llevarse a cabo
La solución simple
Sea
una parametrización de la
curva generadora en las coordenadas 
, con 
.La forma más sencilla, es particionar
uniformemente en 
intervalos de largo 
, y luego obtener los
puntos en la curva generadora como los valores de 
en los
extremos de estos intervalos.El problema con ésta solución es, que la distancia geodesica de los puntos en la curva generadora dependerá de la velocidad con que es hecha la parametrización de la curva, lo que trae problemas al tratar de modelar fenómenos como el relieve o la textura de la superficie de la caracola.
Una solución más sofisticada
Sea nuevamente
una
parametrización de la
curva generadora en las coordenadas , con .Una forma más sofisticada, es particionar, esta vez la curva
uniformemente en intervalos de largo 
,
donde 
denota al largo de la curva . Ésta
es una mejor solución al tratar de modelar fenómenos como
el relieve o la textura de la superficie. La diferencia entre
ésta forma y la anterior solución se puede apreciar en la
siguiente figura:
El método, es muy sencillo; dado que el largo de un arco infinitesimal
en se relaciona con el cambio
infinitesimal 
del parametro 
por medio de las
siguientes ecuaciones:
.El largo total
de se puede obtener integrando 
sobre el intervalo :
.Invirtiendo la primera ecuación, obtenemos que:
.Que junto con la condición inicial
, forma
una ecuación diferencial de primer orden que determina al
parametro como función del largo del arco 
.
Luego, integrando esta última ecuación en
intervalos consecutivos de largo ,
obtenemos una secuencia de valores de parametros:
,con los cuales se obtiene la secuencia de
puntos en la
curva generadora que poseen la propiedad buscada.
