Nous commençons par discrétiser l'équation
différentielle par différences finies.
Cette méthode, que nous expliquerons
plus longuement ultérieurement, consiste à approcher les termes de
dérivation par des quotients différentiels, se basant sur la
définition de la dérivée qui permet d'écrire,
que pour h petit, on a :
Les termes d'ordre 2 sont approchés par :
L'intervalle [0,L] est alors décomposé en M intervalles de longueur h=L/M, et la solution est recherchée en chacun des points de subdivision xm = m h, m = 0,...,M; notons Tm cette valeur.
Le problème
approché est équivalent à la résolution du système
linéaire suivant (T0 et TM donnés)
La théorie nous dit que plus le maillage est fin ( ie. plus h est petit),
meilleure est l'approximation : l'erreur Tm-T(xm)
tend vers 0 quand h tend vers 0.