La
proporción áurea o "el número de oro" \Phi.
La
trigonometría y el número de oro.
Consideremos un pentágono
regular en el cual se han dibujado las diagonales:
En
esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes. Miden 36^{\circ},
72^{\circ} y 108^{\circ}. La relación entre
estos ángulos es la
siguiente: 72 es el doble
de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios tipos diferentes de
triángulos isósceles, de los cuales seleccionamos
sólo tres:
los triángulos
\triangle BAE, \triangle AFB y \triangle
FAG. El resto de
los triángulos son semejantes a alguno
de estos
y no aportan información adicional. Finalmente, hay cuatro
segmentos
diferentes en estos triángulos, que llamaremos:
\overline{BE}=a , \overline{AB}=\overline{AE}=b
,
\overline{AF}=\overline{BF}=\overline{AG}=c y \overline{GF}=d.
Las longitudes de estos segmentos cumplen que : a\geq b\geq c\geq d.
Consideremos ahora cada uno de estos
triángulos por separado y apliquemos el teorema del seno.
El \triangle BAE :
\frac{a}{\sin{108^{\circ}}}=\frac{b}{\sin{36^{\circ}}}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{\sin{108^{\circ}}}{\sin{36^{\circ}}}.
El \triangle AFB :
\frac{b}{\sin{108^{\circ}}}=\frac{c}{\sin{36^{\circ}}}\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{\sin{108^{\circ}}}{\sin{36^{\circ}}}.
El \triangle FAG :
\frac{c}{\sin{72^{\circ}}}=\frac{d}{\sin{36^{\circ}}}\Rightarrow\frac{c}{d}=\frac{\sin{72^{\circ}}}{\sin{36^{\circ}}}=
\frac{\sin{108^{\circ}}}{\sin{36^{\circ}}}.
La última igualdad se obtiene de que 72^{\circ}=180^{\circ}-108^{\circ}
y por tanto \sin{72^{\circ}}=\sin{108^{\circ}}.
En consecuencia podemos establecer
que se tienen las
siguientes proporciones:
\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{\sin{108^{\circ}}}{\sin{36^{\circ}}}.
Es
decir, una vez ordenadas las longitudes de los cuatro segmentos de
mayor a menor, la razón entre cada una de ellas y la siguiente
es
igual a una constante, la pregunta que surge es entonces:
¿Cuál
es esta constante?
Y la respuesta es muy sencilla:
Tomando en cuenta que c=a-b y que todo lo que hemos calculado
anteriormente no depende del lente con el que hemos mirado nuestra
figura, podemos ajustar nuestro lente para que el lado b mida
1 con lo cual el valor de nuestra constante será igual
al valor de a, el que podemos calcular fácilmente; en
efecto:
\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{a-b}\Rightarrow
\frac{a}{1}= \frac{1}{a-1}\Rightarrow a^{2}-a-1=0\Rightarrow
a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi.
Es decir, dos de estos segmentos
consecutivos cumplen la proporción áurea.
Como consecuencia, se verifica también que
\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\sin{108^{\circ}}}{\sin{36^{\circ}}}.
