Resolución con lp_solve

Para ingresarlo a lp_solve, recordemos que se maximiza y se tiene variables positivas por defecto, luego, se escriben los coeficientes de la función objetivo con signo cambiado. Se escribe en archivo, llamado por ejemplo problema.txt lo siguiente:

-0.25grado1-0.1grado2-0.08grado3;
0.7grado1+0.8grado2>=10;
0.9grado1+0.8grado2+0.8grado3>=12;
0.8grado1+1.5grado2+0.9grado3>=15;
0.5grado1+0.6grado2+0.4grado3<=7.5;

Al pasarle por la entrada estandar el problema, de la forma:

$ lp_solve -S4 < problema.txt

Se obtiene la siguiente salida:

Value of objective function: -2.59

Actual values of the variables:
grado1                          8
grado2                        5.5
grado3                        0.5

Actual values of the constraints:
R1                             10
R2                             12
R3                           15.1
R4                            7.5

Objective function limits:
                                 From            Till       FromValue
grado1                         -1e+30         -0.1075          -1e+30
grado2                     -0.2628571           1e+30          -1e+30
grado3                     -0.2571429             2.6          -1e+30

Dual values with from - till limits:
                           Dual value            From            Till
R1                              -0.31               6        10.13793
R2                              -0.67              10        12.05479
R3                                  0          -1e+30           1e+30
R4                               1.14        7.483051             8.5
grado1                              0          -1e+30           1e+30
grado2                              0          -1e+30           1e+30
grado3                              0          -1e+30           1e+30

La interpretación de esta información es la siguiente:

• Value of objective function: Entrega el valor de la función objetivo. Recordar que en este caso, el verdadero valor es con signo menos (pues ingresamos la función objetivo con signo cambiado, $\max f=-\min -f$).
• Actual values of the variables: Valores de la solución óptima para el problema primal.
• Actual values of the constraints: Valores que se obtienen en las restricciones al evaluar en la solución óptima (acá se puede ver cuales se alcanzan con igualdad).
• Objective function limits: Representan los intervalos de la forma [From,Till] en los cuales debe estar el valor $c_i$ tal que al realizar el cambio $c_i\to c_i\pm \Lambda$ (coeficientes de la f. objetivo), el valor de la solución óptima no cambia. El valor FromValue solo es relevante para las variables que valen cero en Actual values of the variables, y representa el valor que tomaría si el coeficiente $c_i$ asociado a ella alcanza el valor From. El valor $\pm 1$e$+30$ representa $\pm 10^{+30}$, la representación numérica de $\pm\infty$.
• Dual values with from - till limits: La columna Dual value representa la solución del problema dual. El intervalo [From,Till] se interpreta como el rango en el cual se puede modificar el valor del lado derecho $b_j$ asociado a esa restricción, de tal manera que no se modifique la solución. Las variables duales representan el incremento de la función objetivo si se aumenta en una unidad el valor $b_i$ (recordar que el nuevo valor de la func. objetivo será $\tilde{f}=f+1*y_i$), siempre que el incremento se encuentre en el intervalo [From,Till].

Para mayor detalle revisar:

http://lpsolve.sourceforge.net/5.5/sensitivity.htm