\documentstyle[fullpage]{article}

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\newtheorem{exercise}{Ejercicio}
\newtheorem{corollary}{Corolario}
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\newtheorem{observation}{Observaci\'on}
\newtheorem{comentary}{Comentario}
\newtheorem{proposition}{Proposici\'on}
\newtheorem{definition}{Definici\'on}
\def\squarebox#1{\hbox to #1{\hfill\vbox to #1{\vfill}}}
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\newcommand{\qed}{\nopagebreak\mbox{}\hfill\qedbox\smallskip}
\newcommand{\startproof}{\noindent{\em Dem:}\hspace{1em}}
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\newenvironment{proof}{{\bf Dem:}\hspace{1em}}{\qed\newline}


\newcommand{\catedra}[3]{
   \pagestyle{headings}
   \thispagestyle{plain}
   \newpage
   \noindent
   \begin{center}
   \makebox[0in]{\framebox{
      \vbox{
    \hbox to 6in { {\bf MA-53G Intr. a la Criptograf\'{\i}a
                        \hfill Semestre Oto\~no, 1998}  }
       \vspace{4mm}
       \hbox to 6in { {\Large \hfill C\'atedra No. #1 : #2 \hfill} }
       \vspace{2mm}
       \hbox to 6in { {\it Transcriptor: #3 \hfill} }
      }
   }}
   \end{center}
   \markboth{C\'atedra No. #1 : #2}{C\'atedra No. #1 : #2}
   \vspace*{4mm}
}

% LISTA DE MACROS PERSONALES COMIENZA AQUI

\renewcommand{\emph}[1]{{\em #1}}
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\newcommand{\set}[2]{\{#1\,|\,#2\}}
\newcommand{\smidge}{{\kern .05em}}	
\newcommand{\Colon}{{\smidge\colon\;\:}}
\newcommand{\eqdef}{\stackrel{\rm def}{=}}

\newcommand{\chapref}[1]{\mbox{Capitulo~\ref{#1}}}
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\newcommand{\apref}[1]{\mbox{Ap\'endice~\ref{#1}}}
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\newcommand{\eqref}[1]{\mbox{(\ref{#1})}}
\newcommand{\ineqref}[1]{\mbox{(\ref{#1})}}
\newcommand{\comref}[1]{\mbox{Comentario~\ref{#1}}}
\newcommand{\mypmod}[1]{\,(\mbox{\rm mod}\,#1)}

% FIN LISTA DE MACROS PERSONALES

\begin{document}

% LOS DATOS IDENTIFICATORIOS DE LA CATEDRA TRANSCRITA VAN AQUI
% (modificar los parametros en invocacion de la siguiente macro:
%	primer parametro: No. de catedra transcrita
%	segundo parametro: fecha de catedra transcrita
%	tercer parametro: Nombre del transcriptor
\catedra{12}{28 de Abril}{Gonzalo Navarro\footnotemark}
\footnotetext{\ La primera parte modificando a Marcos Kiwi.}

% TRANSCRIPCION DE LA CATEDRA COMIENZA AQUI


\section{Correctitud de RSA}

Demostraremos que el esquema de RSA es correcto, es decir
que la funci\'on de decripci\'on es la inversa de la de encripci\'on.
Recordemos que en el criptosistema de \emph{RSA} se tiene que  
el conjunto de claves es 
  $\key = \{ (n,e,d) \,|\,  n = p  q $ donde $p$ y $q$ son primos, 
$e,d \in \modulo_{\varphi(n)}$ y $e d \equiv 1\mypmod{\varphi(n)}\}$, 
  donde $\varphi(n)$ es la funci\'on de Euler.
Para $K=(n,e,d) \in\key$ se tiene que las reglas de encripci\'on y
  decripci\'on vienen dadas respectivamente por
\begin{eqnarray*}
e_{k}(x) & = & x^{e} \bmod n\,, \qquad \forall x\in\modulo_n\,, \\
d_{k}(y) & = & y^{d} \bmod n\,, \qquad \forall y\in\modulo_n\,.\\
\end{eqnarray*}
Finalmente recordemos que la parte p\'ublica de la clave 
  es la tupla $(n,e)$ y la parte privada es $d$.

Queremos verificar que cualquiera sea el texto plano $x$ y la
  clave $k=(n,e,d)\in \key$ se tiene que $d_{k}(e_{k}(x)) = x$. 
Para ello notar que, como $ed\equiv 1\mypmod{\varphi(n)}\}$,
existe un entero $t$ tal que $e d = t \varphi(n) + 1$.
Tenemos dos casos

\begin{description}
\item[$i)$] $(x,n)=1$, es decir $x$ es primo relativo con $n$.

En este caso
\[
x^{ed} \;\equiv\; x^{t\varphi(n) + 1} 
       \;\equiv\; (x^{\varphi(n)})^{t}x
       \;\equiv\;  x \mypmod n\,. 
\]
Donde la \'ultima congruencia se deduce del Teorema de Euler, que establece
que $x^{\varphi(n)} \equiv 1\mypmod{n}$ siempre que $(x,n)=1$.

\item[$ii)$] $(x,n)\not=1$, es decir $x$ {\em no} es primo relativo con $n$.

Consideremos el caso $x \not= 0$ (pues si $x=0$ trivialmente se tiene
que $x^{ed} = x$). Dado que $x$ comparte un divisor con $n=pq$, entonces ese
divisor debe ser o bien $p$ o bien $q$. No pueden ser ambos porque al ser
$p$ y $q$ primos tendr\'{\i}amos $pq | x$, de donde $x \ge pq = n$, lo 
cual contradice la suposici\'on de que $0 \le x < n$ (es decir, 
$x\in\modulo_n$). 

Supongamos entonces que $p|x$ y $q\not|~x$ (el caso rec\'{\i}proco es 
an\'alogo). En ese caso $x \equiv 0 \mypmod{p}$, de lo cual se deduce
$x^{ed} \equiv 0 \equiv x \mypmod{p}$. Por otro lado, como $ed\equiv 1
\mypmod{\varphi(n)}$, tenemos que para alg\'un entero $t$,
$ed = 1 + t\varphi(n)$. Dado que $n=pq$, $\varphi(n)= (p-1)(q-1)$, y por
lo tanto $ed = 1 + t(p-1)(q-1)$. De lo anterior se deduce
\[ x^{ed} ~~ \equiv ~~ (x^{q-1})^{t(p-1)}x ~~ \equiv ~~ x ~~\mypmod{q}\,,
\]
donde la \'ultima congruencia es consecuencia del peque\~no Teorema de 
Fermat, que indica que $x^{q-1} \equiv 1 \mypmod{q}$ si $q$ es primo.

Luego, tanto $x$ como $x^{ed}$ son congruentes m\'odulo $p$ y m\'odulo $q$.
Dado que $p$ y $q$ son primos relativos, el 
  Teorema Chino del Resto permite concluir que $x^{ed}$ y 
  $x$ son congruentes m\'odulo $pq = n$, i.e. $x^{ed}\equiv x \mypmod{n}$.
\end{description}

En otras palabras, $d_{k}(e_{k}(x))=x$ como quer\'{\i}amos demostrar.

\section{Cuerpos finitos}

Un cuerpo es un conjunto dotado de dos operaciones; adici\'on y
multiplicaci\'on. Ambas operaciones son asociativas y conmutativas,
hay un elemento neutro para la adici\'on (denotado $0$), y un elemento neutro
para la multiplicaci\'on (denotado $1$), todo elemento tiene inverso aditivo y
todo elemento distinto de $0$ tiene inverso multiplicativo, y la
multiplicaci\'on distribuye con respecto a la adici\'on.  

Un cuerpo no tiene {\em divisores de cero}. Esto significa que no existen
$a,b \not= 0$ tal que $ab = 0$. Si tal cosa ocurriera, dado que $a\not=0$
y por ende existe su inverso multiplicativo $a^{-1}$, multiplicando ambos
lados por $a^{-1}$, obtendr\'{\i}amos $b=0$, lo que contradice la hip\'otesis.

Un cuerpo $F$ se denomina cuerpo finito si $|F|$ es finito.  
Para un entero no-negativo $q$ 
  denotaremos por $F_{q}$ un cuerpo con $q$ elementos (no lo probaremos,
pero todos los cuerpos del mismo cardinal finito son isomorfos).

\subsection{Caracter\'{\i}stica de un Cuerpo}

Se define la {\em caracter\'{\i}stica} de un cuerpo como el n\'umero
de veces que hay que sumar 1 (a partir de 0) para volver a obtener 0.
Si sumando 1 reiterativamente nunca obtenemos el 0 se dice que el
cuerpo tiene caracter\'{\i}stica $0$ (e.g. el cuerpo de los n\'umeros
reales).

Veamos que todo cuerpo finito tiene caracter\'{\i}stica distinta de 0.
Sea $1$ el neutro multiplicativo en $F_{q}$, y sea 
  $p$ el menor entero positivo tal que
\begin{eqnarray*}
\underbrace{1+1+1+ \ldots +1}_{p\,\, veces} & = & 0\,. 
\end{eqnarray*}
Dicho entero $p$ existe pues necesariamente debe ocurrir que
  como $F_{q}$ tiene cardinalidad finita entonces 
  existen dos enteros $i> j$ tales que  
\begin{eqnarray}
\underbrace{1+1+1+ \ldots +1}_{i\,\, veces} & = &
\underbrace{1+1+1+ \ldots +1}_{j\,\, veces}\,.
\label{aa}
\end{eqnarray}
Pero como por asociatividad de $+$ vale
\begin{eqnarray*}
\underbrace{1+1+1+ \ldots +1}_{i\,\, veces} & = &
\underbrace{1+1+1+ \ldots +1}_{i-j\,\, veces} ~+~
\underbrace{1+1+1+ \ldots +1}_{j\,\, veces}\,,
\end{eqnarray*}
sumando a ambos lados de la ecuaci\'on (\ref{aa}) el inverso aditivo de
\[
\underbrace{1+1+1+ \ldots +1}_{j\,\, veces}
\]
tendremos
\begin{eqnarray*}
\underbrace{1+1+1+ \ldots +1}_{i-j\,\, veces} & = & 0\,.
\end{eqnarray*}
Luego, $p$ es a lo m\'as $i-j$.
Por otro lado, 
  es importante notar que $p$ es necesariamente primo, pues si $p=kl$
  para $k$ y $l$ enteros y menores que $p$ entonces por distributividad del 
producto tenemos
\[
0 \;=\; \underbrace{1+\ldots+1}_{p} \;=\; 
        \underbrace{(1+\ldots+1)}_{k} \underbrace{(1+\ldots+1)}_{l}\,. 
\]
Como $F_{q}$ es un cuerpo, no tiene divisores del cero (es decir, si dos
elementos multiplicados dan cero es porque al menos uno de ellos es cero), luego
uno de los dos factores debe ser cero, con lo cual
\'o $k$ \'o $l$ deben ser $p$, o mayores que $p$ (pues $p$ era el menor valor 
que retornaba a cero), o cero, con lo cual $p=0$. Todas las alternativas son
inconsistentes con las hip\'otesis.
Por lo tanto $p$, la caracter\'{\i}stica de $F_q$, es siempre primo.

\subsection{Cardinalidad de los Cuerpos Finitos}

Si $F_{q}$ es de caracter\'{\i}stica $p$ entonces 
contiene un cuerpo $F_{p}$ isomorfo a $\modulo_{p}$, 
  denominado {\em cuerpo primo}.
En efecto
\begin{eqnarray*}
F_{p} & = & \{0,1,1+1, .. , \underbrace{1+ .. +1}_{(p-1)\,\, veces}\}\,,
\end{eqnarray*}
dotado de las operaciones adici\'on y multiplicaci\'on heredadas de 
  $F_{q}$ es un cuerpo isomorfo a $\modulo_{p}$. El isomorfismo es el
obvio: $1+1+...+1$ ($i$ veces) se mapea a $i \mypmod{p}$ \footnote{
Este isomorfismo muestra, de paso, que dos cuerpos de cardinalidad prima son 
isomorfos.}.
		     
Ahora probaremos la importante afirmaci\'on que dice que 
  que si $F_{q}$ tiene ca\-rac\-te\-r\'{\i}s\-ti\-ca $p$ entonces $q$
  debe ser una potencia de $p$.

Para ello, veremos a $F_q$ como un {\em espacio vectorial}. La idea es
considerar a cada elemento de $F_q$ como un vector. El cuerpo escalar
sobre el cual se construye este espacio vectorial es $F_p$. Es decir,
aunque $F_p$ pueda ser un subconjunto de $F_q$, artificialmente consideraremos 
los elementos de $F_p$ como escalares y los de $F_q$ como vectores.
Las operaciones de este espacio vectorial son heredadas del cuerpo $F_q$,
es decir tenemos $+\Colon F_{q} \times F_{q} \to F_{q}$, y
  $\cdot\Colon F_{p}\times F_{q} \to F_{q}$ (este \'ultimo es el
producto por ``escalar'', que definimos como el producto del cuerpo).
Las operaciones as\'{\i} definidas satisfacen
\begin{enumerate}
\item
$(F_{q},+)$ es un grupo abeliano (trivial porque $(F_q,+,\cdot)$ es un cuerpo).

\item Cualquiera sean los  escalares $\alpha,\beta \in F_{p}$, y los elementos 
   $x,y\in F_{q}$ se tiene que 
\begin{enumerate}
\item $\alpha (x+y) = \alpha x + \alpha y$ (v\'alido porque el producto del
cuerpo distribuye con la suma del cuerpo).

\item $(\alpha\beta)x=\alpha(\beta x)$ (v\'alido porque el producto del cuerpo
es asociativo).

\item $(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x$ (nuevamente por la distributiva).

\item $1\cdot x = x$ (pues 1 es el neutro multiplicativo del cuerpo).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Luego,  como $F_{q}$ es un conjunto finito sigue que $F_{q}$ (visto como
  espacio vectorial) tiene dimensi\'on finita $k$. Recordemos que eso
significa que existen $k$ vectores (una ``base'') tal que todo elemento
del espacio vectorial se expresa en forma \'unica como combinaci\'on lineal
de los vectores de la base.
Tomando una base de tama\~no $k$ de $F_{q}$ es f\'acil 
  establecer una biyecci\'on entre $F_{q}$ y 
  $\{(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}) \,|\,\lambda_{i} \in F_{p}\}$
(pues cada elemento se identifica con los coeficientes que asigna a los
vectores de la base).
De lo anterior se concluye que $q = |F_{q}| = p^{k}$ (cantidad de
combinaciones posibles de valores de escalares).
Por lo tanto se puede concluir que s\'olo existen cuerpos finitos cuya
  cardinalidad es una potencia de un n\'umero primo $p$.

\subsection{Existencia de Cuerpos de Determinada Cardinalidad}

Demostraremos ahora la propiedad rec\'{\i}proca a la anterior, es decir,
que dado un $q = p^n$, con $p$ primo y $n \in {\cal N}-\{0\}$, existe un 
cuerpo de cardinalidad $q$. 

Si $n=1$, tenemos que $q=p$, es decir $q$ mismo es primo. En este caso sabemos
inmediatamente que existen cuerpos de cardinalidad $q$, puesto que 
$(\modulo_q,+,\cdot)$ es un cuerpo para $q$ primo. 

De modo que nos interesar\'a el caso $n>1$, es decir cuando $q$ no es primo. 
Los cuerpos de cardinal primo se llaman ``primales'', de modo que nos interesan
los no primales.

Si $\key$ es un cuerpo, llamaremos $\key[X]$ al anillo de polinomios en la
indeterminada $X$ y con coeficientes en $\key$. Formalmente,
\[ \key[X] ~~=~~ \bigcup_{n \in \cal N} 
		   \left\{~\sum_{i=0}^n~c_i~X^i~;~c_i \in \key~\right\}~.
\]
Es importante entender que las sumas y productos que aparecen en la f\'ormula
anterior son formales, es decir nunca se opera realmente. Si se desea se puede
pensar al polinomio como una $n$-tupla de elementos de $\key$. La utilidad de
verlos como polinomios es que facilita la definici\'on de la suma y producto
en $\key[X]$: son simplemente la suma y producto de polinomios (si se quiere
pensar como $n$-tupla, la suma se realiza t\'ermino a t\'ermino y el producto
se puede expresar con convoluciones).

Recordemos que un anillo $(R,+,\cdot)$ significa que $(R,+)$ es un grupo
abeliano, $\cdot$ es asociativa y distribuye con la suma. Si adem\'as existe
un neutro multiplicativo 1, se dice que $R$ es un anillo con unidad. Si el
producto es conmutativo se dice que $R$ es un anillo conmutativo. Por \'ultimo,
si $R$ es un anillo conmutativo sin divisores del cero (es decir, ning\'un 
producto de elementos distintos de cero da cero), se dice que $R$ es
un ``dominio de integridad''. Los polinomios sobre un cuerpo $\key$ forman
un dominio de integridad, con unidad.

El siguiente teorema nos muestra, en particular, que utilizando polinomios 
sobre el cuerpo finito $\modulo_p$, y definiendo las operaciones de forma
adecuada, se puede constru\'{\i}r un cuerpo de cardinalidad $p^n$.

\medskip

\noindent {\bf Teorema:} Sea $\key$ un cuerpo finito y sea $f \in \key[X]$ un 
polinomio irreductible\footnote{Es decir que no se puede expresar como el
producto de otros dos, ambos de grado menor que el de \'el.}
de grado $n$. Entonces $\key[X]/(f)$
\footnote{Es decir los polinomios m\'odulo $f$: primero se realizan las 
operaciones como polinomios normales y luego se toma el resto de dividirlos
por $f$.} 
es un cuerpo finito con $|\key|^n$ elementos.

\medskip

\noindent {\bf Demostraci\'on:}

Veamos primero cu\'antos elementos tiene $\key[X]/(f)$. Dado que todos los
polinomios son de grado menor que $n$, todos se pueden escribir de la forma
\[  a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_{n-1} x^{n-1} \]
donde los polinomios de menor grado se obtienen haciendo algunos $a_i = 0$.
Est\'a claro que el n\'umero de valores posibles para los coeficientes
$a_i$ es $|\key|^n$. Por otro lado, todo polinomio de grado menor que $n$
es irreductible m\'odulo $f$, de forma que el cardinal de $\key[X]/(f)$ es
exactamente $|\key|^n$ (observar que se trata de un conjunto finito).

Veamos ahora que $\key[X]/(f)$ es un dominio de integridad.
La conmutatividad del producto se hereda obviamente
de la de $\key$. Para ver que no hay divisores de cero, sean $g, h \in
\key[X]/(f)$ que cumplen $gh = 0 \in \key[X]/(f)$. Por la definici\'on de este
anillo esto significa que $f | gh$, es decir existe un polinomio $p$ tal que
$gh = pf$. Al ser $f$ irreductible, esto implica que $f|g$ \'o $f|h$, es decir
$g$ \'o $h$ son congruentes con cero m\'odulo $f$, o sea son cero en el anillo
$\key[X]/(f)$.

Veamos por \'ultimo que todo dominio de integridad finito es un cuerpo. Lo que
falta demostrar es que existe el neutro y los inversos multiplicativos. Para 
ello,
consideremos un elemento fijo $x \not=0$, y definamos la funci\'on $f_x(y) = xy$.
Esa funci\'on debe ser una inyecci\'on en $\key-\{0\}$, porque si no lo es 
entonces existir\'an $y \not= y'$ tal que $xy = xy'$ y por lo tanto $x(y-y') = 
0$, con lo cual hay divisores de cero, contrariamente a lo que establece el ser 
un dominio de integridad. Por otro lado, al ser $\key$ un cuerpo finito, el
que $f_x$ sea una inyecci\'on implica que es una biyecci\'on.

Existir\'a entonces, para cada $x$, un \'unico 
elemento $1_x$ que cumple $f_x(1_x) = x$, y un \'unico elemento $x^{-1}$ que 
cumplir\'a $f_x(x^{-1}) = 1_x$. S\'olo nos queda demostrar que todos los $1_x$ 
son iguales para mostrar que existe neutro y los inversos. Es decir, 
$1_x = 1_y$ para
todo $x,y$. Para probar esto, consideremos que como $f_x$ es una biyecci\'on,
existe $z$ tal que $xz = y$. Entonces, $(xz)1_x = (x 1_x) z = xz$, de lo cual
$1_x = 1_{xz} = 1_y$.

De modo que $\key[X]/(f)$ es un cuerpo de cardinalidad $|\key|^n$.
Con esto podemos constru\'{\i}r un cuerpo de cardinal potencia de primo, para
toda potencia $n$ y todo primo $p$. Tomamos el cuerpo $\modulo_p$, tomamos un
polinomio irreductible $f$ de grado $n$, y el cuerpo que buscamos es 
$\modulo_p[X]/(f)$. Para que esta prueba sea completa deber\'{\i}amos mostrar
que para todo cuerpo finito $\key$ y todo grado $n$ existe un polinomio 
irreductible de grado $n$ sobre $\key$. Esto no se probar\'a.

\noindent {\bf Ejemplo:} veamos un ejemplo de un cuerpo no primal. Tomaremos
el cuerpo base $\key = F_5 \approx \modulo_5$ y consideraremos la potencia 2.
Para ello usaremos un polinomio irreductible (en $\modulo_5$) de grado 2, a
saber
$f(x) = x^2-2$. El resultado ser\'a $F_5[X]/(f) \approx F_{25}$. Todos los
elementos de este cuerpo son polinomios de grado 1 o menos, o sea son de la
forma $a+bx$, con $a, b \in F_5$. Las operaciones se realizan primero operando
los polinomios y luego tomando el resto de dividir por $f(x)$. Esto es
equivalente a reemplazar $x^2$ por 2 donde aparezca\footnote{En general, si
$f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i$, el m\'odulo se obtiene reemplazando $x^n$ por
$ -\sum_{i=0}^{n-1} a_n^{-1}a_i x^i$.}. Por ejemplo
\[ (3+x)^2 ~~=~~ 9 + 6x + x^2 ~~=~~ 9 + 6x + 2 ~~=~~ 11 + 6x ~~=~~ 1 + x \]
(donde la \'ultima conversi\'on corresponde a $F_5$ mismo). La inversi\'on se
realiza con el conocido truco
\[ \frac{1}{1+x} ~~=~~ \frac{1-x}{(1+x)(1-x)} ~~=~~ \frac{1-x}{1-x^2}
~~=~~ \frac{1-x}{-1} ~~=~~ -1 + x ~~=~~ 4 + x ~. \]
En general, la inversi\'on se puede realizar (aunque hay m\'etodos m\'as
eficientes) con la regla $a^{-1} = a^{p^n-2}$, puesto que $a^{p^n-1}=1$
seg\'un Fermat. Para ver esto es necesario extender la demostraci\'on del
Peque\~no Teorema de Fermat a grupos abelianos finitos $(G,\cdot)$, tales como 
$(F_{p^n}-\{0\},\cdot)$ en nuestro caso.

La demostraci\'on part\'{\i}a observando que, para todo $a\in G$, la funci\'on 
$f_a(x) = ax$ era una biyecci\'on en $G$ (tal como lo hemos probado para ver 
que todo dominio de integridad es un cuerpo). De modo que 
\[ \prod_{x\in G} x ~~~=~~~ \prod_{x \in G} ax ~~~=~~~ a^{|G|}~\prod_{x \in G} x
\]
y dado que $\prod_{x\in G} x$ tiene inverso, se multiplica a
ambos lados por ese inverso para obtener
\[ 1 = a^{|G|}
\]

En nuestro caso, $|F_{p^n}-\{0\}| = p^n-1$, de lo que se deduce la
afirmaci\'on.
\end{document}








