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Ahora pongamos un obstáculo, en alguna parte del mapa que no quede en el borde. Nuevamente llega un momento en que la hormiga se pone a dar vueltas. ¿Cuántos pasos se demora en dar una vuelta, y cuánto se demora en empezar a dar la vuelta? ¿Dependen estas respuestas de la condición inicial (es decir, del lugar en que parte la hormiga)?
Ahora pongamos un obstáculo pegado al borde, en alguna parte. ¿Cuántos pasos se demora ahora la hormiga en dar la vuelta? ¿Depende de la condición inicial?
Pongamos dos obstáculos pegados al borde, de modo que el primero esté pegado al borde de arriba, y el otro esté pegado al borde de abajo, y quede hacia la derecha del primero. ¿Qué pasa? ¿Da vueltas la hormiga? ¿Dónde? ¿Cuántos pasos se demora? ¿Depende del lugar en que parte? Y si ahora el obstáculo de abajo lo corremos, de modo que quede a la izquierda del obstáculo de arriba, ¿cambia o no cambia la respuesta a esas preguntas? ¿Por qué?
No son muchas las trayectorias que puede hacer la hormiga, si los obstáculos
son pocos (como les decía, es una hormiga muuuy tonta). Pero ya con 3
ó 4, se pueden hacer algunos caminos. Hagan lo siguiente: encuentren una
forma de poner 4 obstáculos, de modo que la hormiga se ponga a dar vueltas
en un circuito que tenga aproximadamente la forma del dibujo.
Ahora hagan la prueba, varias veces, de rellenar el mapa al azar con obstáculos, en distintas cantidades (usen el botón "Llena al azar"). ¿Qué es lo que pasa cuando echan a correr la hormiga por el mapa?
Lo que pueden notar es que siempre llega un momento en que la hormiga se pone a dar vueltas. Puede que no sea una vuelta rectangular, sino con u na forma distinta (como la que armaron arriba, siguiendo el dibujo), pero es una vuelta, que se repite, y se seguirá repitiendo toda la eternidad. ¿Es posible que, para algún dibujo del mapa, y alguna condición inicial, esto no ocurra? ¿Es decir, que la hormiga siga haciendo siempre cosas distintas, y nunca empiece a repetirse?
La respuesta es NO. La razón de que la respuesta sea no... Piénsenla. Pueden preguntarle al profe de filosofía, cuál era el argumento de Federico Nietzsche para creer en el "eterno retorno" de las cosas. En este caso, es el "eterno retorno" de la hormiga.
La razón, no la diré. Baste con saber que eso ocurre. Siempre, con una o con más hormigas, en cualquier posición inicial, para cualquier dibujo del mapa, va a llegar un momento a partir del cual las cosas se van a empezar a repetir. A la primera etapa (antes de llegar al momento en que las cosas se empiezan a repetir), se le llama etapa transiente (porque es transitoria). A la segunda etapa, le llamamos etapa periódica, y el período es la cantidad de los pasos que dura una vuelta (es decir, la cantidad de "tics" del reloj del hormiguero que pasan, para que todo vuelva a repetirse.
Ahora que ya saben distinguir entre etapa transiente, y etapa periódica, hay dos cosas que pueden tratar de hacer (aún con una hormiga). Primero, traten de diseñar los obstáculos de modo de hacer que la etapa transiente sea lo más larga posible. Y luego, traten de diseñarlos de modo que el período sea lo mayor posible. ¿Quién da más?
Otra pregunta (no es fácil): si tengo una sola hormiga, y tengo un tablero de un cierto tamaño (por ejemplo, 14), ¿existe un valor máximo para la duración del período? En otras palabras, ¿es posible que yo diga un número, de modo que para cualquier condición inicial, el período al que llega la hormiga, sea menor que ese número que yo dije? Les adelanto la respuesta: sí, es posible. Para 14×14, por ejemplo, ninguna vuelta que se de la hormiga (pongan como pongan los obstáculos) puede tener más de 800 pasos. La pregunta es: ¿por qué? ¿Cómo se puede demostrar eso?
Pongan ahora más hormigas, en un mapa de tamaño mediano (un mapa de 25×25, por ejemplo), relleno con obstáculos al azar en distintas densidades (prueben 5%, 20%, 40%). ¿Qué pasa? Describan lo que ven.
Ahora, vamos agregando hormigas. Tomen un mapa grande, de 100×100, y pongan unas doscientas hormigas (ojo, que ahora con el botón derecho sobre la hormiga roja, se agregan 10 hormigas, así que no hace falta ir agregando de a una). ¿Qué pasa sin obstáculos? ¿Qué pasa con obstáculos puestos al azar, en 1%? ¿En 5%? ¿En 20%? ¿En 50%? ¡Describan! Y si aumento las hormigas a muchas más, ¿qué pasa, sin obstáculos? ¿Y por qué pasa lo que pasa?
Ahora prueben poniendo obstáculos a propósito, para orientar el camino de los ríos de hormigas. Sugiero (por materialista que suene), hacer el dibujo de un signo $ (o algún otro de dificultad parecida), pero ojo, no se trata de dibujarlo con puntitos azules, ni tampoco con hormigas quietas. ¡Se trata de dibujarlo con hormigas caminando!
La otra: ¿qué sistema parecido se les ocurriría inventar? ¿Qué cambio simple se le podría hacer a esto, para experimentar?