Entrevista realizada por el profesor Avelio Sepúlveda.
Daniel Remenik, profesor titular del DIM, ha sido reconocido con el premio «Frontiers of Science», otorgado en el «International Congress of Basic Science» realizado en Beijing en julio de 2024. En este premio se reconocen los papers que han tenido mayor impacto en los últimos diez años, tanto por su valor científico como por su originalidad. Pueden encontrar la lista completa de papers y autores premiados en aquí.
En el caso del profesor Remenik, el premio ha sido otorgado por su paper «The KPZ Fixed Point», el cual fue publicado en el año 2021 en la revista «Acta Mathematica» en coautoría con Konstantin Matetski y Jeremy Quastel. Este trabajo consiguió construir un objeto matemático que había eludido a los investigadores por décadas: el llamado punto fijo KPZ. Este objeto describe las fluctuaciones de una clase grande de modelos de crecimiento aleatorio cuando se observa su evolución en una escala temporal y espacial suficientemente grande. Algunos ejemplos concretos de modelos en esta clase son la frontera de una hoja que se quema o la frontera de una mancha de café.
Este trabajo ha sido una piedra angular para una enorme comunidad de probabilistas cuyo objetivo ha sido extender y entender la llamada clase de universalidad de KPZ. Esta clase de universalidad se define como todos los modelos discretos que, al ser observados en una escala suficientemente grande, se asemejan al objeto definido por Remenik y sus colaboradores: el punto fijo KPZ.
Conversamos con el profesor Remenik para conocer sus perspectivas sobre el premio y el trabajo.
-En un lenguaje informal, ¿Cuál es el resultado principal del paper?
Yo trabajo en un área donde se estudia una clase grande de modelos de crecimientos de interfaces aleatorias en una dimensión. La pregunta principal es entender cómo crece esta interfaz a medida que avanza el tiempo. La clase en particular que estudio conforma lo que se llama una clase de universalidad. Es decir, a pesar de que los elementos de esta clase tienen una descripción microscópica diferente, su comportamiento macroscópico a nivel estadístico es el mismo, al menos conjeturalmente. Para poder caracterizar esta clase de universalidad, es necesario definir o caracterizar este comportamiento estadístico límite. Esto es análogo a definir la distribución gaussiana en el contexto del teorema central del límite usual.
Este tema ha sido el objeto de estudio de mucha gente durante bastante tiempo, sin embargo hasta este paper, el objeto límite no había sido definido en su generalidad completa. Lo que faltaba en ese momento era poder entender las fluctuaciones límites partiendo desde cualquier posible estado. Pues hasta entonces, sólo se conocía su caracterización para condiciones iniciales particulares. Otro problema importante, que está conectado con lo anterior por razones técnicas, era entender la evolución de estas fluctuaciones en el tiempo. Para poder realizar esto, incluso en el caso de condiciones iniciales específicas, era clave comprender el comportamiento para condiciones iniciales generales.
Logramos calcular estas fluctuaciones como el límite de un proceso especial llamado TASEP. Este es un proceso que vive en la clase de universalidad y que uno puede estudiar de manera precisa. Una vez que uno obtiene este límite, uno puede usarlo para definir las fluctuaciones universales que deberían caracterizar a la clase.
-¿Por qué le tomó tanto tiempo a la comunidad lograr construir este objeto? Más particularmente, ¿Cuál era la barrera conceptual que no permitía su definición?
Lo que pasa es que el contexto en el que se estudia este problema es relativamente complicado, es mucho más complejo que lo que se estudia, por ejemplo, en el caso del teorema central del límite. Básicamente, uno necesita alguna herramienta para poder calcular estos límites y, en mayor o menor medida, uno necesita fórmulas explícitas para calcular ciertas cantidades sobre estos procesos, particularmente las llamadas probabilidades de transición. Existían maneras de calcular estas probabilidades pero en la comunidad se creía que las técnicas que se utilizaban sólo eran útiles cuando las condiciones iniciales tenían ciertas simetrías adicionales muy especiales. Para condiciones iniciales generales, que era lo que uno necesitaba considerar, había la creencia de que esto no sería posible. La razón es que se perdían la simetría y ciertas «fórmulas mágicas» que aparecían al resolver el problema en estos casos.
Sin embargo resultó que esto no era así, y el problema podía ser resuelto para condiciones iniciales súper generales. Junto a mis colaboradores, nos dimos cuenta de esto luego de una serie de trabajos que no eran particularmente sobre este problema, si no que alrededor de él. Las herramientas que habíamos desarrollado para resolver esos problemas nos permitieron descubrir cuál era esta solución para las probabilidades de transición que buscábamos, y luego poder chequear que este era el resultado correcto. A pesar de que muchos de estos cálculos eran originalmente deterministas y muy algebraicos, las soluciones que se obtuvieron tuvieron un sabor muy probabilista, en sentido de que usa probabilidades para caracterizar esta solución.
-Claramente este no es el primero, ni el reconocimiento más grande de su carrera, dentro los que se encuentran el premio del MCA en 2021 y el premio Rollo Davidson de 2021. ¿Cuál espera usted que sean sus contribuciones futuras al área de las probabilidades? Más particularmente, ¿Cuáles son los problemas en los que está pensando en estos momentos?
Prefiero no juzgar lo primero, pero puedo hablar de lo otro. Es difícil saber exactamente cuáles van a ser mis contribuciones futuras al área de las probabilidades, pero estoy trabajando en varios problemas que me parecen bonitos en estos momentos. El área de este paper es el área en la que llevo trabajando mucho tiempo. En particular, este trabajo ha abierto algunos problemas interesantes en el área, y dedico una buena parte de mi tiempo a trabajar en ellos. Por ejemplo, un resultado que conseguimos posteriormente a este trabajo, fue demostrar que la función de distribución del punto fijo KPZ se conecta con ciertas ecuaciones diferenciales especiales, conocidas como ecuaciones integrables. Estas ecuaciones tienen muchas simetrías, y aparecen en otras áreas en la física y todavía no entendemos si es simplemente casualidad o existe alguna razón física que las conecte.
Otro problema sobre el que estoy reflexionando es la aparición de este punto fijo KPZ en otros contextos, modelos o geometrías. Respecto a esto último, uno podría por ejemplo tratar de entender el problema esta vez no en todo el espacio, si no que por ejemplo en una línea con ciertas condiciones de borde.
El área es grande y tienen una gran cantidad de aristas diferentes. En los últimos años yo he tratado de seguir aportando desde los tópicos que conozco bien a la comprensión de estos fenómenos.
Para finalizar la entrevista es importante mencionar que el profesor Daniel Remenik será el orador del coloquio DIM del día 10 de Septiembre de 2024 a las 16.30. Para todos quienes quieran conocer más de su investigación y en particular del punto fijo KPZ esta es una oportunidad imperdible.