Escuela de Verano DIM 2005

Universidad de Chile


Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas


Departamento de Ingeniería Matemática



Del 30 de Noviembre al 16 de Diciembre de 2005
  

Programa

Carlos Conca.    

Introducción al análisis funcional.

  1. Introducción:  Motivación y Preliminares
  2. Teorema de Hahn-Banach (forma analítica). Corolarios.
  3. Teorema de Hahn-Banach (formas geométricas). Corolarios.
  4. Teorema de Banach-Steinhauss y Caracterización de Conjuntos Acotados.
  5. Teoremas de Banach : Aplicación Abierta, Inversa Continua, Grafo Cerrado.
  6. Operadores No-Acotados. Noción de Adjunto.
  7. Topología Débil. Definición, Propiedades Básicas.
  8. Topología Débil*. Noción de Bidual.


Raúl Gouet.         apunte.pdf    --    Guía.pdf

  1. Convergencia
  2. Esperanza Condicional
  3. Martingalas a Tiempo Discreto
    3.1 Resultados de Convergencia
    3.2 Martingalas de Cuadrado Integrable
  4. Aplicaciones
    4.1 Urnas de Polya
    4.2 Records


 

Alejandro Jofré

Teoría de juegos y sus aplicaciones.

        Después de los trabajos iniciales de Von Newmann-Morgensten y Nash, la Teoría de Juegos ha tenido durante los últimos cincuenta años un desarrollo espectacular tanto en su cuerpo teórico como en su aplicabilidad. Hoy hay áreas como la Economía y Sociología, y más reciente la Biología, que tienen dentro de sus fundamentos modelos de juegos, estáticos o dinámicos, determinísticos o estocásticos. En la primera sesión de este curso se introducirán los conceptos básicos y resultados fundamentales de la Teoría de Juegos: equilibrio, representación, existencia, información y comportamiento estratégico. En las sesiones siguientes se mostrarán algunos resultados recientes sobre juegos dinámicos y estocásticos, y su aplicaciones a diversas áreas. Se concluirá con algunas cuestiones abiertas en calculabilidad de equilibrios y asimetrías de información.



Salomé Martínez

Sistemas de reacción - difusión.

      Un problema fundamental en el estudio de dinámica de poblaciones, es el estudio de la segregación espacial de poblaciones que interactuan en un habitat común. Las ecuaciones y sistemas de reacción-difusión han sido usados para modelar la dinámica de poblaciones, sus interacciones con el medio ambiente y entre ellas. Estos sistemas y ecuaciones consideran la dispersión de los individuos en el medio ambiente, mortalidad/natalidad de las especies, e interacciones entre distintas especies. En este curso estudiaremos aspectos cualitativos de la dinámica de poblaciones, en particular la existencia de equilibrios no homogeneos para ecuaciones y sistemas de reacción-difusión, sus propiedades asintóticas, para así vislumbrar la dinámica de estos sistemas.



Iván Rapaport.       

Complejidad comunicacional

        Supongamos que tenemos un problema computacional P. La motivación central de la teoría de la complejidad no consiste en encontrar una solución para P, sino determinar qué tan difícil es P. En otras palabras, se quieren encontrar cotas inferiores para la cantidad de recurso que cualquier solución (algoritmo o protocolo) requerirá para resolver P. La naturaleza del recurso determina el tipo de complejidad que se está midiendo. Las medidas más comunes son el tiempo y el espacio (memoria).

        El recurso que se medirá aquí es el de comunicación. Y la pregunta será la siguiente: ¿cuántos bits deben intercambiar distintas partes de un sistema para poder juntos ejecutar una cierta tarea?

        Los resultados en complejidad comunicacional (las cotas inferiores) son traspasables, de modo más o menos directo, a problemas de comunicacón. Por ejemplo: ¿cuál es el tiempo requerido por una red de procesadores para calcular una cierta función cuyo input está distribuido?

        Sin embargo, más interesantes resultan las aplicaciones de complejidad comunicacional a problemas en los cuales la comunicación no es explícita. En particular, en este curso se abordará el problema de encontrar, para algunas funciones booleanas, la profundidad mínima de los circuitos que las calculan.

 






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         última modificación 14 de Diciembre de 2005